精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
設圓C與兩圓(x+
5
2+y2=4,(x-
5
2+y2=4中的一個內切,另一個外切.
(1)求C的圓心軌跡L的方程;
(2)已知點M(
3
5
5
,
4
5
5
),F(xiàn)(
5
,0),且P為L上動點,求||MP|-|FP||的最大值及此時點P的坐標.
分析:(1)根據兩圓的方程分別找出兩圓心和兩半徑,根據兩圓內切時,兩圓心之間的距離等于兩半徑相減,外切時,兩圓心之間的距離等于兩半徑相加,可知圓心C到圓心F1的距離加2與圓心C到圓心F2的距離減2或圓心C到圓心F1的距離減2與圓心C到圓心F2的距離加2,得到圓心C到兩圓心的距離之差為常數4,且小于兩圓心的距離2
5
,可知圓心C的軌跡為以原點為中心,焦點在x軸上的雙曲線,根據a與c的值求出b的值,寫出軌跡L的方程即可;
(2)根據點M和F的坐標寫出直線l的方程,與雙曲線L的解析式聯(lián)立,消去y后得到關于x的方程,求出方程的解即可得到兩交點的橫坐標,把橫坐標代入直線l的方程中即可求出交點的縱坐標,得到直線l與雙曲線L的交點坐標,然后經過判斷發(fā)現(xiàn)T1在線段MF外,T2在線段MF內,根據圖形可知||MT1|-|FT1||=|MF|,利用兩點間的距離公式求出|MF|的長度,當動點P與點T2重合時||MT2|-|FT2||<|MF|,當動點P不是直線l與雙曲線的交點時,根據兩邊之差小于第三邊得到|MP|-|FP|<|MF|,綜上,得到動點P與T1重合時,||MP|-|FP||取得最大值,此時P的坐標即為T1的坐標.
解答:解:(1)兩圓的半徑都為2,兩圓心為F1(-
5
,0)、F2
5
,0),
由題意得:|CF1|+2=|CF2|-2或|CF2|+2=|CF1|-2,
∴||CF2|-|CF1||=4=2a<|F1F2|=2
5
=2c,
可知圓心C的軌跡是以原點為中心,焦點在x軸上,且實軸為4,焦距為2
5
的雙曲線,
精英家教網因此a=2,c=
5
,則b2=c2-a2=1,
所以軌跡L的方程為
x2
4
-y2=1;

(2)過點M,F(xiàn)的直線l的方程為y=
4
5
5
-0
3
5
5
-
5
(x-
5
),
即y=-2(x-
5
),代入
x2
4
-y2=1,解得:x1=
6
5
5
,x2=
14
5
15
,
故直線l與雙曲線L的交點為T1
6
5
5
,-
2
5
5
),T2
14
5
15
2
5
15
),
因此T1在線段MF外,T2在線段MF內,故||MT1|-|FT1||=|MF|=
(
3
5
5
-
5
2
+(
4
5
5
)
2
=2,
||MT2|-|FT2||<|MF|=2,若點P不在MF上,則|MP|-|FP|<|MF|=2,
綜上所述,|MP|-|FP|只在點T1處取得最大值2,此時點P的坐標為(
6
5
5
,-
2
5
5
).
點評:此題考查學生會根據已知條件得到動點的軌跡方程,掌握雙曲線的簡單性質,靈活運用兩點間的距離公式及三角形的兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊解決實際問題,是一道中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

本題設有(1)(2)(3)三個選考題,每題7分,請考生任選2題作答,滿分14分.如果多做,則按所做的前兩題計分.作答時,先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑,并將所選題號填入括號中.
(1)已知矩陣M=
1a
b1
,N=
c2
0d
,且MN=
20
-20
,
(Ⅰ)求實數a,b,c,d的值;(Ⅱ)求直線y=3x在矩陣M所對應的線性變換下的像的方程.
(2)在直角坐標系xoy中,直線l的參數方程為
x=3-
2
2
t
y=
5
-
2
2
t
(t為參數).在極坐標系(與直角坐標系xoy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸)中,圓C的方程為ρ=2
5
sinθ

(Ⅰ)求圓C的直角坐標方程;(Ⅱ)設圓C與直線l交于點A、B,若點P的坐標為(3,
5
)
,
求|PA|+|PB|.
(3)已知函數f(x)=|x-a|.
(Ⅰ)若不等式f(x)≤3的解集為{x|-1≤x≤5},求實數a的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,若f(x)+f(x+5)≥m對一切實數x恒成立,求實數m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

設動圓C與兩圓C1:(x+
5
)2+y2=4
C2(x-
5
)
2
+y2=4
中的一個內切,另一個外切.則動圓C的圓心M軌跡L的方程是
x2
4
-y2=1
x2
4
-y2=1

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,設圓(x-5)2+y2=16的圓心為C,此圓和拋物線y2=px(p>0)有四個交點,若在x軸上方的兩個交點為A(x1,
px1
),B(x2
px2
)(x1<x2),坐標原點為O,△AOB的面積為S.
(1)求p的取值范圍;
(2)求S關于p的函數f(p)的表達式及S的最大值;
(3)求當S取最大值時,向量
CA
CB
的夾角.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源:2006-2007學年廣東省陽江市高二(上)期末數學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖,設圓(x-5)2+y2=16的圓心為C,此圓和拋物線y2=px(p>0)有四個交點,若在x軸上方的兩個交點為A(x1,),B(x2,)(x1<x2),坐標原點為O,△AOB的面積為S.
(1)求p的取值范圍;
(2)求S關于p的函數f(p)的表達式及S的最大值;
(3)求當S取最大值時,向量的夾角.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案