Question

18．如圖，某園林單位準(zhǔn)備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，△ABC外的地方種草，△ABC的內(nèi)接正方形PQRS為一水池，其余的地方種花．若BC=a，∠ABC=θ，設(shè)△ABC的面積為S₁，正方形PQRS的面積為S₂．
（1）用a，θ表示S₁和S₂；
（2）當(dāng)a為定值，θ變化時(shí)，求$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的最小值，及此時(shí)的θ值．

Answer 1

分析 （1）據(jù)題三角形ABC為直角三角形，利用三角函數(shù)分別求出AC和AB，得出三角形ABC的面積S₁；
設(shè)正方形PQRS的邊長(zhǎng)為x，利用三角函數(shù)分別表示出BQ和RC，由BQ+QR+RC=a列出方程求出x，算出S₂；
（2）化簡(jiǎn)比值$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$，設(shè)t=sin2θ來(lái)化簡(jiǎn)求出S₁與S₂的比值，利用三角函數(shù)的增減性求出比值的最小值以及對(duì)應(yīng)此時(shí)的θ．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，AB=acosθ，AC=asinθ，
所以S₁=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$a²sinθcosθ；（3分）
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x則BP=$\frac{x}{sinB}$，AP=xcosθ，
由BP+AP=AB，得$\frac{x}{sinθ}$+xcosθ=acosθ，
解得x=$\frac{asinθcosθ}{1+sinθcosθ}$；
所以S₂=x²=${（\frac{asinθcosθ}{1+sinθcosθ}）}^{2}$；（6分）
（2）$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{1}{2}•$$\frac{{（1+sinθcosθ）}^{2}}{sinθcosθ}$
=$\frac{{（1+\frac{1}{2}sin2θ）}^{2}}{sin2θ}$
=$\frac{1}{sin2θ}$+$\frac{1}{4}$sin2θ+1，（8分）
令t=sin2θ，因?yàn)?0＜θ＜$\frac{π}{2}$，
所以0＜2θ＜π，則t=sin2θ∈（0，1]，（10分）
所以$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{1}{t}$+$\frac{1}{4}$t+1；
設(shè)g（t）=$\frac{1}{t}$+$\frac{1}{4}$t+1，
則g′（t）=-$\frac{1}{{t}^{2}}$+$\frac{1}{4}$，t∈（0，1]；
所以函數(shù)g（t）在（0，1]上遞減，（11分）
因此當(dāng)t=1時(shí)g（t）有最小值g（t）_min=g（1）$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{4}$×1+1=$\frac{9}{4}$，
此時(shí)sin2θ=1，解得θ=$\frac{π}{4}$；
所以當(dāng)θ=$\frac{π}{4}$時(shí)，$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的值最小，最小值為$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇合適的函數(shù)關(guān)系的能力，以及在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型的能力，是綜合性題目．