Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-2ax+3
（1）若f′（-1）=4，求a的值；
（2）若a≠0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)f′（x）=a

1

x

-2a=a（

1

x

-2），從而令f′（-1）=a（-1-2）=4；從而解得；
（2）a≠0時(shí)，先求定義域，再求導(dǎo)f′（x）=a

1

x

-2a=a（

1

x

-2），從而討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)以確定函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．

解答： 解：（1）∵f′（x）=a

1

x

-2a=a（

1

x

-2），
∴f′（-1）=a（-1-2）=4；
故a=-

4

3

；
（2）a≠0時(shí)，
f（x）=alnx-2ax+3的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=a

1

x

-2a=a（

1

x

-2），
當(dāng)a＜0時(shí)，

1

x

-2＜0，即x＞

1

2

時(shí)，f′（x）＞0，

1

x

-2＞0，即0＜x＜

1

2

時(shí)，f′（x）＜0；
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（

1

2

，+∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，

1

x

-2＜0，即x＞

1

2

時(shí)，f′（x）＜0；

1

x

-2＞0，即0＜x＜

1

2

時(shí)，f′（x）＞0；
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間（0，

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．