Question

9．如圖所示，過點P作⊙O的切線PA，A為切點，割線PB交⊙O于點B、C，R為⊙O上的點，且有AC=AR．
（1）證明：∠PAC=∠ACR；
（2）若AB為⊙O的直徑，證明$\frac{PC}{AR}$=$\frac{PA}{AB}$．

Answer 1

分析 （1）利用弦切角定理及等腰三角形的性質(zhì)，即可證明：∠PAC=∠ACR；
（2）證明△PAC∽△ABR，即可證明$\frac{PC}{AR}$=$\frac{PA}{AB}$．

解答 證明：（1）∵過點P作⊙O的切線PA，A為切點，
∴∠PAC=∠ARC，
∵AC=AR，
∴∠ACR=∠ARC，
∴∠PAC=∠ACR；
（2）作出直徑AB，連接RB，則∠ARB=∠ACB=90°，
∵∠PAC=∠ACR=∠ABR
∴△PAC∽△ABR，
∴$\frac{PC}{AR}$=$\frac{PA}{AB}$．

點評 本題考查弦切角定理及等腰三角形的性質(zhì)，考查三角形相似的判定與性質(zhì)，屬于中檔題．