Question

【題目】如圖，在四棱錐中，已知四邊形是菱形，，，，二面角的大小為，是的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）連接交于點(diǎn)，連接，根據(jù)三角形的中位線定理證得，然后利用線面平行的判定定理證明即可；

（2）先根據(jù)（1）得到直線與平面所成的角，即直線與平面所成的角，然后過(guò)點(diǎn)作，利用面面垂直的性質(zhì)定理得到平面，進(jìn)而得為直線與平面所成的角，最后求的正弦值即可．

（1）如圖所示：

連接交于點(diǎn)，則是的中點(diǎn)，連接．

又是的中點(diǎn)，所以，

因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面．

（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接．

由（1）知，

所以直線與平面所成的角，即直線與平面所成的角．

易知，又是的中點(diǎn)，

所以．

同理，又，

所以平面，

因?yàn)?/span>平面，

所以平面平面．

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面，，

所以平面，

所以為直線與平面所成的角．

因?yàn)?/span>，所以，又，，

所以平面ACP，

所以為二面角的平面角，

所以，

設(shè)菱形的邊長(zhǎng)，又，

所以，

由余弦定理得：，

所以，

在中，，，，

所以，

所以直線與平面所成角的正弦值為．