Question

16．已知數(shù)列{a_n}滿足S_n+a_n=2n+1．（n∈N^*）
（1）求出a₁，a₂，a₃的值；
（2）由（1）猜測a_n的表達式，并用數(shù)學歸納法證明所得結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)S_n+a_n=2n+1，代入即可求出a₁，a₂，a₃．
（2）總結(jié)出規(guī)律求出a_n，然后利用歸納法進行證明，檢驗n=1時等式成立，假設(shè)n=k時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立．

解答 解：（1）由a₁+a₁=2+1，得a₁=$\frac{3}{2}$，
由a₁+a₂+a₂=2×2+1，得a₂=$\frac{7}{4}$，
同理a₃=$\frac{15}{8}$．
（2）猜測a_n=2-$\frac{1}{{2}^{n}}$（n∈N^*）
證明：①由（1）當n=1時，a₁=$\frac{3}{2}$命題成立；
②假設(shè)n=k時，a_k=2-$\frac{1}{{2}^{k}}$成立，
則n=k+1時，由已知S_k+1+a_k+1=S_k+2a_k+1=2k+3，
把S_k=2k+1-a_k及a_k=2-$\frac{1}{{2}^{k}}$代入化簡a_k+1=2-$\frac{1}{{2}^{k+1}}$
即n=k+1時，命題成立．
由①②得a_n=2-$\frac{1}{{2}^{n}}$（n∈N^*）．

點評 此題主要考查歸納法的證明，歸納法一般三個步驟：（1）驗證n=1成立；（2）假設(shè)n=k成立；（3）利用已知條件證明n=k+1也成立，從而求證，這是數(shù)列的通項一種常用求解的方法．