Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CD上的動(dòng)點(diǎn)．
（I）試確定點(diǎn)F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F；
（II）當(dāng)D₁E⊥平面AB₁F時(shí)，求二面角C₁-EF-A的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

Answer 1

【答案】分析：（I）法一：幾何法：要D₁E⊥平面AB₁F，先確定D₁E⊥平面AB₁F內(nèi)的兩條相交直線，由三垂線定理易證D₁E⊥AB₁，同理證明D₁E⊥AF即可．
法二：代數(shù)法：建立空間直接坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量的數(shù)量積等于0，來證垂直．
（II）法一：求二面角C₁-EF-A的大小，轉(zhuǎn)化為求C₁-EF-C的大小，利用三垂線定理方法：E、F都是所在線的中點(diǎn)，
過C連接AC，設(shè)AC與EF交于點(diǎn)H，則CH⊥EF，連接C₁H，則CH是C₁H在底面ABCD內(nèi)的射影．
∠C₁HC是二面角C₁-EF-C的平面角．求解即可．
法二：找出兩個(gè)平面的法向量，運(yùn)用空間向量數(shù)量積公式求出二面角的余弦值，再求其角．
解答：解法一：（I）連接A₁B，則A₁B是D₁E在面ABB₁A；內(nèi)的射影
∵AB₁⊥A₁B，∴D₁E⊥AB₁，
于是D₁E⊥平面AB₁F?D₁E⊥AF．
連接DE，則DE是D₁E在底面ABCD內(nèi)的射影．
∴D₁E⊥AF?DE⊥AF．
∵ABCD是正方形，E是BC的中點(diǎn)．
∴當(dāng)且僅當(dāng)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，DE⊥AF，
即當(dāng)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，D₁E⊥平面AB₁F．（6分）

（II）當(dāng)D₁E⊥平面AB₁F時(shí)，由（I）知點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)．
又已知點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接EF，則EF∥BD．連接AC，
設(shè)AC與EF交于點(diǎn)H，則CH⊥EF，連接C₁H，則CH是
C₁H在底面ABCD內(nèi)的射影．
C₁H⊥EF，即∠C₁HC是二面角C₁-EF-C的平面角．
在Rt△C₁CH中，∵C₁C=1，CH=AC=，
∴tan∠C₁HC=．
∴∠C₁HC=arctan，從而∠AHC₁=π-arctan2．
故二面角C₁-EF-A的大小為．

解法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
（1）設(shè)DF=x，則A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），
A₁（0，0，1），B（1，0，1），D₁（0，1，1），E，F(xiàn)（x，1，0）∴
∴=1-1=0，即D₁E⊥AB₁
于是D₁E⊥平面AB₁F?D₁E∪AF?
即x=．故當(dāng)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，D₁E⊥平面AB₁F

（2）當(dāng)D₁E⊥平面AB₁F時(shí)，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，又E是BC的中點(diǎn)，連接EF，則EF∥BD．
連接AC，設(shè)AC與EF交于點(diǎn)H，則AH⊥EF．連接C₁H，則CH是C₁H在底面ABCD內(nèi)的射影．
∴C₁H⊥EF，即∠AHC₁是二面角C₁-EF-A的平面角．
∵，
∵．
∴，
=，
即．
故二面角C₁-EF-A的大小為π-arccos．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查線面關(guān)系和正方體等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力．空間向量計(jì)算法容易出錯(cuò)．