Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，∠BAC=90°，D為BC中點．
（Ⅰ） 求證：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ） 求證：C₁A⊥B₁C；
（Ⅲ） 求直線B₁C₁與平面A₁B₁C所成的角．

Answer 1

（I）證明：連接A₁C交C₁A與點O，連接DO
∵ACC₁A₁均為正方形∴點O為A₁C的中點
而D為BC中點∴BO∥A₁B
而A₁B?平面ADC₁，BO?平面ADC₁，
∴A₁B∥平面ADC₁；
（II）證明：由（I）可知C₁A⊥A₁C，而AB⊥平面ACC₁A₁，
而C₁A?平面ACC₁A₁，則AB⊥C₁A，而A₁B₁∥AB
∴A₁B₁⊥C₁A而A₁B₁∩A₁C=A₁，
∴C₁A⊥平面A₁B₁C，而B₁C?平面A₁B₁C
∴C₁A⊥B₁C．
（Ⅲ）解：連接A₁C，A₁C∩AC₁=O，連接OB₁，
∵ACC₁A₁為正方形，∠BAC=90°
∴AC₁⊥A₁C，AC₁⊥A₁B₁，
∴AC₁⊥平面A₁B₁C
∴∠C₁B₁O為直線B₁C₁與平面A₁B₁C所成的角
∵C₁O=C₁A=C₁B₁
∴∠C₁B₁O=30°．
分析：（I）欲證A₁B∥平面ADC₁，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證A₁B與平面ADC₁內(nèi)一直線平行，連接A₁C交C₁A與點O，連接DO，根據(jù)中位線定理可知BO∥A₁B，而A₁B?平面ADC₁，BO?平面ADC₁，滿足定理所需條件；
（II）由（I）可知C₁A⊥A₁C，A₁B₁⊥C₁A而A₁B₁∩A₁C=A₁，根據(jù)線面垂直的判定定理可知C₁A⊥平面A₁B₁C，而B₁C?平面A₁B₁C，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知C₁A⊥B₁C；
（Ⅲ）連接A₁C，A₁C∩AC₁=O，連接OB₁，證明C₁B₁O為直線B₁C₁與平面A₁B₁C所成的角，從而可得結(jié)論．
點評：本題主要考查了線面平行的判定，以及線面垂直的性質(zhì)和點到平面的距離，同時考查了空間想象能力、運算求解的能力、以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于中檔題．