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已知函數y=x+數學公式有如下性質：如果常數a＞0，那么該函數在（0，數學公式]上是減函數，在[數學公式，+∞）上是增函數．
（1）如果函數y=x+數學公式（x＞0）的值域為[6，+∞），求b的值；
（2）研究函數y=x2+數學公式（常數c＞0）在定義域內的單調性，并說明理由；
（3）對函數y=x+數學公式和y=x2+數學公式（常數a＞0）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數的特例．研究推廣后的函數的單調性（只須寫出結論，不必證明）．

解：（1）由函數y=x+性質知：
當x=時，函數y=x+（x＞0）的最小值是2，則2=6，
解得b=log29．
（2）設0＜x1＜x2，
則y2-y1==．
當＜x1＜x2時，y2＞y1，函數y=在[，+∞）上是增函數；
當0＜x1＜x2＜時，y2＜y1，函數y=在（0，]上是減函數．
又y=是偶函數，
所以該函數在（-∞，-]上是減函數，在[-，0）上是增函數；
（3）可以把函數推廣為y=（常數a＞0），其中n是正整數．
當n是奇數時，函數y=在（0，]上是減函數，在[，+∞）上是增函數，
在（-∞，-]上是增函數，在[-，0）上是減函數；
當n是偶數時，函數y=在（0，]上是減函數，在[，+∞） 上是增函數，
在（-∞，-]上是減函數，在[-，0）上是增函數．
分析：（1）由函數y=x+性質可得y=x+的最小值，令其為6，解出可得b值；
（2）利用定義進行判斷：先研究函數在（0，+∞）上的單調性，設0＜x1＜x2，通過作差判斷y2與y1的大小，由單調性的定義即可作出判斷，再由偶函數的性質可知函數在（-∞，0）的單調性；
（3）可以把函數推廣為y=（常數a＞0），其中n是正整數，當n是奇數時類比y=x+的情形，當n是偶數時類比y=的情形，即可得到結論；
點評：本題考查函數單調性的判斷、證明及歸納推理，定義是判斷函數單調性的基本方法，要熟練掌握．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•武昌區(qū)模擬）已知點P在半徑為1的半圓周上沿著A→P→B路徑運動，設弧   的長度為x，弓形面積為f（x）（如圖所示的陰影部分），則關于函數y=f（x）的有如下結論：
①函數y=f（x）的定義域和值域都是[0，π]；
②如果函數y=f（x）的定義域R，則函數y=f（x）是周期函數；
③如果函數y=f（x）的定義域R，則函數y=f（x）是奇函數；
④函數y=f（x）在區(qū)間[0，π]是單調遞增函數．
以上結論的正確個數是（　　）

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科目：高中數學 來源：湖北省武漢市武昌區(qū)2012屆高三5月調研考試數學文科試題 題型：013

已知點P在半徑為1的半圓周上沿著A→P→B路徑運動，設弧的長度為x，弓形面積為f(x)(如圖所示的陰影部分)，則關于函數y＝f(x)的有如下結論：

①函數y＝f(x)的定義域和值域都是[0，π]；

②如果函數y＝f(x)的定義域R，則函數y＝f(x)是周期函數；

③如果函數y＝f(x)的定義域R，則函數y＝f(x)是奇函數；

④函數y＝f(x)在區(qū)間[0，π]上是單調遞增函數．

以上結論的正確個數是

[　　]

A．1

B．2

C．3

D．4

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科目：高中數學 來源： 題型：單選題

已知點P在半徑為1的半圓周上沿著A→P→B路徑運動，設弧　 的長度為x，弓形面積為f（x）（如圖所示的陰影部分），則關于函數y=f（x）的有如下結論：
①函數y=f（x）的定義域和值域都是[0，π]；
②如果函數y=f（x）的定義域R，則函數y=f（x）是周期函數；
③如果函數y=f（x）的定義域R，則函數y=f（x）是奇函數；
④函數y=f（x）在區(qū)間[0，π]是單調遞增函數．
以上結論的正確個數是


  1. A.
    1
  2. B.
    2
  3. C.
    3
  4. D.
    4

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科目：高中數學 來源：2012年湖北省武漢市武昌區(qū)高三五月調考數學試卷（文科）（解析版） 題型：選擇題

已知點P在半徑為1的半圓周上沿著A→P→B路徑運動，設弧   的長度為x，弓形面積為f（x）（如圖所示的陰影部分），則關于函數y=f（x）的有如下結論：
①函數y=f（x）的定義域和值域都是[0，π]；
②如果函數y=f（x）的定義域R，則函數y=f（x）是周期函數；
③如果函數y=f（x）的定義域R，則函數y=f（x）是奇函數；
④函數y=f（x）在區(qū)間[0，π]是單調遞增函數．
以上結論的正確個數是（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

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