Question

6．已知△ABC中，AB=3，AC=2，點(diǎn)D在邊BC上，滿足$\frac{{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|}}$=$\frac{{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|}}$，若$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow b$，則$\overrightarrow{AD}$=（　　）

• A． $\frac{1}{3}$$\overrightarrow a$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow b$
• B． $\frac{2}{3}$$\overrightarrow a$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow b$
• C． $\frac{3}{5}$$\overrightarrow a$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow b$
• D． $\frac{2}{5}$$\overrightarrow a$+$\frac{3}{5}$$\overrightarrow b$

Answer 1

分析 根據(jù)向量數(shù)量積的計(jì)算公式，由$\frac{{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|}}$=$\frac{{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|}}$便可得出AD為∠BAC的平分線，從而得出$\frac{BD}{DC}=\frac{3}{2}$，進(jìn)一步得出$BD=\frac{3}{5}BC$，從而$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$，這樣進(jìn)行向量的數(shù)乘運(yùn)算便可用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$表示出$\overrightarrow{AD}$．

解答 解：如圖，
$\frac{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}=\frac{|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{AB}|cos∠BAD}{|\overrightarrow{AB}|}=|\overrightarrow{AD}|cos∠BAD$，$\frac{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}=|\overrightarrow{AD}|cos∠CAD$；
∴$|\overrightarrow{AD}|cos∠BAD=|\overrightarrow{AD}|cos∠CAD$；
∴cos∠BAD=cos∠CAD；
∴∠BAD=∠CAD；
即AD為∠BAC的平分線；
∴$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{2}$；
∴$BD=\frac{3}{5}BC$；
∴$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$
=$\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{BC}$
=$\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$
=$\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}$
=$\frac{2}{5}\overrightarrow{a}+\frac{3}{5}\overrightarrow$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)量積的計(jì)算公式，以及三角形角平分線的性質(zhì)，向量加法、減法及數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)乘運(yùn)算，向量數(shù)量積的計(jì)算公式．