Question

已知向量

a

，

b

滿足|

a

|=3|

b

|≠0，且關(guān)于x的函數(shù)f（x）=

1

2

x³+

1

2

|

a

|x²+

a

•

b

x在R上單調(diào)遞增，則

a

，

b

的夾角的取值范圍是（　�。�

• A．[0，

  π

  2

  ）
• B．[0，

  π

  3

  ]
• C．（

  π

  3

  ，

  π

  2

  ]
• D．（

  π

  3

  ，

  2π

  3

  ]

Answer 1

分析：求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）=

1

2

x³+

1

2

|

a

|x²+

a

•

b

x在R上單調(diào)遞增，可得判別式小于等于0在R上恒成立，再利用|

a

|=3|

b

|≠0，利用向量的數(shù)量積，即可得到結(jié)論．

解答：解：求導(dǎo)數(shù)可得f′(x)=

3

2

x2 +|

a

|x+ 

a

•

b

∵函數(shù)f（x）=

1

2

x³+

1

2

|

a

|x²+

a

•

b

x在R上單調(diào)遞增，
∴△=|

a

|2-6

a

•

b

≤0在R上恒成立
設(shè)

a

，

b

的夾角為θ，
∵|

a

|=3|

b

|≠0，
∴9-18cosθ≤0
∴cosθ≥

1

2

∵θ∈[0，π]
∴θ∈[0，

π

3

]
故選B．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查向量的數(shù)量積，解題的關(guān)鍵是利用判別式小于等于0在R上恒成立