Question

已知函數(shù)f（x）=-

1

3

x³+

1

2

（a-1）x²+ax，x∈R．
（Ⅰ）若a=2，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）若-1＜a＜-1時，f（x）在區(qū)間[-1，2}上的最小值為-

10

3

，求f（x）在該區(qū)間上的最大值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）代入a的值，利用導數(shù)來求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，
（Ⅱ）先根據(jù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，2}上的最小值為-

10

3

，求出a的值，再根據(jù)f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值為f（a），代入求值即可．

解答： 解：（Ⅰ）當a=2時，f(x)=-

1

3

x3+

1

2

x2+2x，
∴f′（x）=-x²+x+2=-（x+1）（x-2），
令 f′（x）＞0，則-1＜x＜2，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為 （-1，2），
令 f′（x）＜0則 x＞2或  x＜-1，
∴f（x） 的單調(diào)減區(qū)間為 （-∞，-1）（2．+∞），  
（Ⅱ）f′（x）=-x²+（a-1）x+a=-（x+1）（x-a），   
∵-1＜a＜1，
∴在（-1，a） 上，在（a，+∞） 上 f′（x）＜0，
∴f（x）在（-1，a）單調(diào)遞增，在（a，2）上單調(diào)遞減
∴當 -1＜a＜1時，f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值為f（a），
∵當-1＜a＜1 時，f(2)-f(-1)=4a-

14

3

-(-

1

2

a-

1

6

)=

9

2

a-

9

2

＜0
∴f（2）＜f（-1）
∴f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最小值為  f(2)=4a-

14

3

=-

10

3

∴a=

1

3

，
∴f（x）在區(qū)間[-1，2] 上的最大值為 f(

1

3

)=

5

81

．

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及最值問題，屬于基礎題