Question

4．函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且周期為2，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x²，若直線y=x+a與曲線y=f（x）恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為（　　）

• A． n（n∈Z）
• B． 2n（n∈Z）
• C． 2n或2n-$\frac{1}{4}$（n∈Z）
• D． n或n-$\frac{1}{4}$（n∈Z）

Answer 1

分析 因?yàn)閒（x）是定義在R上且周期為2的偶函數(shù)，所以當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f（x）=x²；畫出函數(shù)圖形，判斷出恰有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的情形．

解答 解：因?yàn)閒（x）是定義在R上且周期為2的偶函數(shù)，所以當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f（x）=x²；
①由圖象可知當(dāng)直線y=x+a經(jīng)過點(diǎn)（0，0）時(shí)，直線y=x+a與y=f（x）恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)a=0，由于函數(shù)f（x）是周期為2的函數(shù)，所以當(dāng)a=2n時(shí)，直線y=x+a與曲線f（x）恰有兩個(gè)公共點(diǎn)．
②由圖象可知直線y=x+a與f（x）=x²相切時(shí)，直線y=x+a與曲線f（x）也恰有兩個(gè)公共點(diǎn)．
f'（x）=2x，由f'（x）=2x=1，解得x=$\frac{1}{2}$，所以y=$\frac{1}{4}$，即切點(diǎn)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），代入直線y=x+a得a=-$\frac{1}{4}$．
由于函數(shù)f（x）是周期為2的函數(shù)，所以當(dāng)a=2n-$\frac{1}{4}$時(shí)，直線y=x+a與曲線f（x）恰有兩個(gè)公共點(diǎn)．
故選：C

點(diǎn)評 本題主要考查了函數(shù)圖形的基本特征、函數(shù)的基本性質(zhì)、數(shù)學(xué)結(jié)合思想，屬中等題．