Question

2．已知函數(shù)$f（x）=-\frac{4}{3}{x^3}+4{x^2}+12x+a$．
（1）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若a=-1，求f（x）在區(qū)間[-2，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，利用導函數(shù)的符號，求解函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間即可．
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）f'（x）=-4x²+8x+12=-4（x+1）•（x-3）…（2分）
令f'（x）＜0得  x＜-1或x＞3…（2分）
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-1）和（3，+∞）…（1分）
（2）當a=-1，則$f（x）=-\frac{4}{3}{x^3}+4{x^2}+12x-1$…（1分）
由（1）知  f'（x）=-4x²+8x+12=-4（x+1）•（x-3）
令f'（x）=0得x=-1或x=3…（1分）

x	[-2，-1）	-1	（-1，3]
f'（x）	+	0	-
f（x）	↑	極大值	↓

…（3分）
∵$f（-2）=\frac{5}{3}$，$f（-1）=-\frac{23}{3}$，f（3）=35…（1分）
∴f（x）_max=35，$f{（x）_{min}}=-\frac{23}{3}$…（1分）

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的最值的求法，考查轉化思想以及計算能力．