Question

函數(shù)f（x）對一切實數(shù)x，y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅲ）對任意的x₁∈（0，

1

2

），x₂∈（0，

1

2

），都有f（x₁）+2＜log_ax₂成立時，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）令x=1，y=0，即可得到f（0）；
（Ⅱ）由條件，令y=0，結合f（0），即可得到f（x）的表達式；
（Ⅲ）求出f（x₁）+2在x₁∈（0，

1

2

）上遞增，得到f（x₁）+2∈（0，

3

4

），再對a討論，應用恒成立思想：最大值不小于最小值，即可得到答案．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x，
令x=1，y=0，得f（1）-f（0）=2，
又f（1）=0，則f（0）=-2；
（Ⅱ）由f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x，
令y=0，得f（x）-f（0）=x（x+1）．
由f（0）=-2，則f（x）=x²+x-2；
（Ⅲ）∵x₁∈（0，

1

2

），
∴f（x₁）+2=x₁²+x₁=（x₁+

1

2

）²-

1

4

在x₁∈（0，

1

2

）上遞增，
∴f（x₁）+2∈（0，

3

4

），
要使任意的x₁∈（0，

1

2

），x₂∈（0，

1

2

），都有f（x₁）+2＜log_ax₂成立，
當a＞1時，log_ax₂＜log_a

1

2

，顯然不成立；
當0＜a＜1時，log_ax₂＞log_a

1

2

，則

0＜a＜1 loga 1 2 ≥ 3 4

，解得

3 4

4

≤a＜1．
綜上，a的取值范圍是[

3 4

4

，1）．

點評：本題考查抽象函數(shù)及應用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，考查不等式的恒成立問題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，屬于中檔題．