Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，AC，BD交于點O，A₁O⊥平面ABCD，A₁A=BD=2，AC=2

2

．
（1）證明：A₁C⊥平面BB₁D₁D；
（2）求平面BC₁D₁與平面BB₁D₁D夾角的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）證明BD⊥A₁C，A₁C⊥A₁A，即可證明A₁C⊥平面BB₁D₁D；
（2）求出平面BC₁D₁的一個法向量、平面BB₁D₁D的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求平面BC₁D₁與平面BB₁D₁D夾角的余弦值．

解答： （1）證明：∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
∵A₁O⊥平面ABCD，∴A₁O⊥BD，
∵A₁O∩AC=O，∴BD⊥平面A₁AC，∴BD⊥A₁C，
由已知A₁A=2，AC=2

2

，
又AO=OC，A₁O⊥AC，
∴A₁A=A₁C=2，A₁A²+A₁C²=AC²，∴A₁C⊥A₁A，
∵B₁B∥A₁A，∴A₁C⊥B₁B，BD∩B₁B=B，
∴A₁C⊥平面BB₁D₁D；
（2）解：以O為坐標原點，建立坐標系，則A（

2

，0，0），B（0，1，0），C₁（-2

2

，0，

2

），
∴

.

BC1

=（-2

2

，-1，

2

），

C1D1

=

BA

=（

2

，-1，0），
設平面BC₁D₁的一個法向量為

n

=（x，y，z），則

2 x-y=0 -2 2 x-y+ 2 z=0

，取

n

=（1，

2

，3），
由（1）A₁C⊥平面BB₁D₁D，∴平面BB₁D₁D的一個法向量為

A1C

=（-

2

，0，

2

），
設平面BC₁D₁與平面BB₁D₁D夾角為θ，則cosθ=|cos＜

n

，

A1C

＞|=|

n • A1C

| n |•| A1C |

|=

4 2

2 3 ×2

=

6

3

．

點評：本題考查線面垂直，考查平面與平面所成的角，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．