Question

在R上定義的連續(xù)偶函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（2-x），在區(qū)間[1，2]上單調(diào)，且f（0）•f（1）＜0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2 010]上的零點的個數(shù)是________．

Answer 1

2010
分析：利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、函數(shù)零點的判定定理即可得出．
解答：由題意可得f（-x）=f（x）=f（2-x），∴f（x）是以2為周期的函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線x=1對稱．
∵f（0）•f（1）＜0，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上存在零點；
∵f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)，∴在區(qū)間（0，1）上也單調(diào)，因此函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上存在唯一零點．
綜上可知：函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上有且僅有兩個零點；
又f（x）是以2為周期的函數(shù)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2 010]上的零點的個數(shù)是2010．
故答案為2010．
點評：熟練掌握函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、函數(shù)零點的判定定理是解題的關(guān)鍵．