Question

已知a、b、c是實數，函數，g(x)=ax＋b，當－1≤x≤1時，|f(x)|≤1．

(1)證明：|c|≤1；

(2)證明：當－1≤x≤1時，|g(x)|≤2；

(3)設a＞0，當－1≤x≤1時，g(x)的最大值為2，求f(x)．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)由已知，當－1≤x≤1時，有|f(x)|≤1． 因為x=0時，滿足－1≤x≤1的條件，所以|f(0)|≤1． 而f(0)=c，即|c|≤1． (2)當a＞0時，g(x)在[－1，1]上是增函數，有g(－1)≤g(x)≤g(1)． 又g(1)=a＋b=f(1)－c，g(－1)=－a＋b=－f(－1)＋c． 代入上式，得：－f(－1)＋c≤g(x)≤f(1)－c，　　　　　　　　　�、� 由絕對值不等式m＋n≤|m|＋|n|， 可得f(1)－c≤|f(1)|＋|c|，及f(－1)－c≤|f(－1)＋|c|， 再由條件|f(1)|≤1，|f(－1)|≤1，|c|≤1 及不等式的有關性質，可得 f(1)－c≤2，－f(－1)＋c≥－2，　　　　　　　　　　　　　　　　② 由①、②及不等式的性質，得：－2≤g(x)≤2， 即|g(x)|≤2． 當a＜0時，可用類似的方法證得|g(x)|≤2． 當a=0時，g(x)=b，f(x)=bx＋c， |g(x)|=|f(1)－c|≤|f(1)|＋|c|≤2． 綜上得|g(x)|≤2． (3)a＞0，g(x)在[－1，1]上是增函數，其最大值在右端點處取得，即g(1)=2． 又g(1)=f(1)－c，所以c=f(1)－2． 由已證，得c≥－1． 由已知，得f(1)≤1． 所以－1≤c≤1－2=－1，c=－1． 又當－1≤x≤1時，f(x)≥－1，而c=－1，f(0)=c． 所以對任意－1≤x≤1，都有f(x)≥f(0)，即f(x)的對稱軸為x=0． 由此得，解得b=0， 又g(1)=a＋b=2，所以a=2． 所以即為所求．

提示：

解析：本題是一道將一次函數、二次函數的有關性質與不等式的證明相結合的典型代數推理證明題．試圖使用最基本、最樸素的材料，最常用、最一般地方法，從思維的全面性、深刻性、嚴密性和批判性等多個方面對演繹推理、邏輯思維能力提出較高的考查要求．我們可由證明過程來看編制意圖和考查目的．