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11.若曲線f(x)=1alnx+1(e-1<x<e2-1)和g(x)=-x3+x2(x<0)上分別存在點(diǎn)A、B,使得△OAB是以原點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且斜邊AB的中點(diǎn)在y軸上,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( �。�
A.(e,e2B.(e,e22C.(1,e2D.[1,e)

分析 由題意設(shè)出A,B的坐標(biāo),代入函數(shù)解析式,利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式把B的坐標(biāo)用A的坐標(biāo)表示,由OAOB=0可得關(guān)于A的橫坐標(biāo)的方程,分離參數(shù)a后構(gòu)造函數(shù)h(x)=x+1lnx+1,利用導(dǎo)數(shù)求其在(e-1<x<e2-1)上的單調(diào)性,得到函數(shù)的值域得答案.

解答 解:設(shè)A(x1,y1),y1=f(x1)=1alnx1+1,B(x2,y2),y2=g(x2)=-x23+x22(x<0),
x1+x22=0,x2=-x1,∴y2=x13+x12
OA=x1y1,OB=x2y2
由題意,OAOB=x1x2+y1y2=0,即x1x1+1alnx1+1x13+x12=0,
x12[1+x1+1alnx1+1]=0,
∵e-1<x1<e2-1,
x1+1alnx1+11=0,
a=x1+1lnx1+1
設(shè)h(x)=x+1lnx+1,則h′(x)=lnx+11ln2x+1,
∵e-1<x<e2-1,
∴h′(x)>0,
即函數(shù)h(x)=x+1lnx+1在(e-1<x<e2-1)上為增函數(shù),
e1+1lne1+1ae21+1lne21+1,
即e<a<e22
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(e,e22).
故選:B.

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,考查邏輯思維能力和推理運(yùn)算能力,屬中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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14.某區(qū)實(shí)驗(yàn)幼兒園對(duì)兒童記憶能力x與識(shí)圖能力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,得到如下數(shù)據(jù):
記憶能力x46810
識(shí)圖能力y3568
由表中數(shù)據(jù),求得線性回歸方程為y=45x+a,當(dāng)江小豆同學(xué)的記憶能力為12時(shí),預(yù)測(cè)他的識(shí)圖能力為(  )
A.9B.9.5C.10D.11.5

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15.已知向量m=(2cos2x,3),n=(1,sin2x),設(shè)函數(shù)fx=mn,則下列關(guān)于函數(shù)y=f(x)的性質(zhì)的描述正確的是(  )
A.關(guān)于直線x=π12對(duì)稱B.關(guān)于點(diǎn)5π120對(duì)稱
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12.當(dāng)m為何實(shí)數(shù)時(shí),復(fù)數(shù)z=m2+m-2+(m2-1)i為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

6.若以3,4,x為三邊組成一個(gè)銳角三角形.則x的取值范圍為(7,5).若以3,4,x為三邊組成一個(gè)鈍角三角形.則x的取值范圍為(5,7)或(1,7).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

16.已知函數(shù)f(x)=ax2-(a+2)x+lnx,其中a∈R.
(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)的點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)a>0時(shí),若f(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值為-2,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

3.設(shè)a>0,b>0,且a+b≤4,則有( �。�
A.1ab12B.1a2+b214C.ab≥2D.1a+1≥1

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20.某四面體的三視圖如圖所示,該四面體的體積為(  )
A.43B.2C.83D.4

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1.求函數(shù)fx=sin2x+π2的單調(diào)遞減區(qū)間[kπ,kπ+π2],k∈Z.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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