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11.若曲線f(x)=1alnx+1(e-1<x<e2-1)和g(x)=-x3+x2(x<0)上分別存在點(diǎn)A、B,使得△OAB是以原點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且斜邊AB的中點(diǎn)在y軸上,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( �。�
A.(e,e2B.(e,e22C.(1,e2D.[1,e)

分析 由題意設(shè)出A,B的坐標(biāo),代入函數(shù)解析式,利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式把B的坐標(biāo)用A的坐標(biāo)表示,由OAOB=0可得關(guān)于A的橫坐標(biāo)的方程,分離參數(shù)a后構(gòu)造函數(shù)h(x)=x+1lnx+1,利用導(dǎo)數(shù)求其在(e-1<x<e2-1)上的單調(diào)性,得到函數(shù)的值域得答案.

解答 解:設(shè)A(x1,y1),y1=f(x1)=1alnx1+1,B(x2,y2),y2=g(x2)=-x23+x22(x<0),
x1+x22=0,x2=-x1,∴y2=x13+x12
OA=x1y1,OB=x2y2,
由題意,OAOB=x1x2+y1y2=0,即x1x1+1alnx1+1x13+x12=0,
x12[1+x1+1alnx1+1]=0
∵e-1<x1<e2-1,
x1+1alnx1+11=0,
a=x1+1lnx1+1
設(shè)h(x)=x+1lnx+1,則h′(x)=lnx+11ln2x+1
∵e-1<x<e2-1,
∴h′(x)>0,
即函數(shù)h(x)=x+1lnx+1在(e-1<x<e2-1)上為增函數(shù),
e1+1lne1+1ae21+1lne21+1,
即e<a<e22
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(e,e22).
故選:B.

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,考查邏輯思維能力和推理運(yùn)算能力,屬中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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記憶能力x46810
識圖能力y3568
由表中數(shù)據(jù),求得線性回歸方程為y=45x+a,當(dāng)江小豆同學(xué)的記憶能力為12時(shí),預(yù)測他的識圖能力為( �。�
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A.關(guān)于直線x=\frac{π}{12}對稱B.關(guān)于點(diǎn)({\frac{5π}{12},0})對稱
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3.設(shè)a>0,b>0,且a+b≤4,則有( �。�
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20.某四面體的三視圖如圖所示,該四面體的體積為( �。�
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