Question

【題目】已知函數f（x）=ex（sinx+cosx）+a，g（x）=（a2﹣a+10）ex（a為常數）．
（1）已知a=0，求曲線y=f（x）在（0，f（0））處的切線方程；
（2）當0≤x≤π時，求f（x）的值域；
（3）若存在x1、x2∈[0，π]，使得|f（x1）﹣g（x2）|＜13﹣e 成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=0時，f（x）=ex（sinx+cosx），

f′（x）=ex（sinx+cosx）+ex（cosx﹣sinx）=2excosx，

∴f′（0）=2，f（0）=1，

∴切線方程為：y﹣1=2（x﹣0），即2x﹣y﹣1=0為所求的切線方程

（2）解：由f′（x）=2excosx≥0，得0≤x≤ ，f′（x）=2excosx≤0，得 ≤x≤π．

∴y=f（x）在[0， ]上單調遞增，在[ ，π]上單調遞減．

∴ymax=f（ ）= +a．

f（0）=1+a，f（π）=﹣eπ+a＜f（0），ymin=f（π）=﹣eπ+a，

∴f（x）的值域為[﹣eπ+a， +a]

（3）解：∵a2﹣a+10＞0，∴g（x）在[0，π]上是增函數，

g（0）=a2﹣a+10，g（π）=（a2﹣a+10）eπ，

∴g（x）的值域為[a2﹣a+10，（a2﹣a+10）eπ]．

∵a2﹣a+10﹣（ +a）=（a﹣1）2+（9﹣ ）＞0，

依題意，a2﹣a+10﹣（ +a）＜13﹣ ，

即a2﹣2a﹣3＜0，解得：﹣1＜a＜3

【解析】（1）求出原函數的導函數，得到函數在x=0時的導數，再求出f（0），然后利用直線方程的點斜式得答案；（2）由原函數的導函數的符號確定原函數的單調區(qū)間，從而求得原函數的極大值點，得到函數的最大值，再求出端點值得答案；（3）由a2﹣a+10＞0，得g（x）在[0，π]上是增函數，從而求得g（x）的值域．由題意得到a2﹣a+10﹣（ +a）＜13﹣ ，求解關于a的不等式得答案．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值即可以解答此題．