Question

1．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2，E為PD的中點(diǎn)．
（1）求直線(xiàn)CE與平面ABCD所成角的大小；
（2）求二面角E-AC-D的大小，（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

Answer 1

分析 （1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線(xiàn)CE與平面ABCD所成角的大小．
（2）先求出平面AEC的法向量和平面ACD的法向量，利用向量法能求出二面角E-AC-D的大小．

解答 解：（1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則C（1，2，0），D（0，2，0），P（0，0，1），E（0，1，$\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{CE}$=（-1，-1，$\frac{1}{2}$），平面ABCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
設(shè)直線(xiàn)CE與平面ABCD所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{CE}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1+1+\frac{1}{4}}}$=$\frac{1}{3}$，
$θ=arcsin\frac{1}{3}$．
∴直線(xiàn)CE與平面ABCD所成角的大小為arcsin$\frac{1}{3}$．
（2）$\overrightarrow{AE}$=（0，1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AC}$=（1，2，0），
設(shè)平面AEC的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=y+\frac{1}{2}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=x+2y=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{m}$=（-2，1，-2），
平面ACD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
設(shè)二面角E-AC-D的大小為θ，
則cosθ=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{2}{\sqrt{9}}$=$\frac{2}{3}$．
θ=arccos$\frac{2}{3}$．
∴二面角E-AC-D的大小為$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面角、二面角的求法，涉及到空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．