Question

2．已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1），g（x）=2log_a（2x+t）（t∈R），a＞0，且a≠1．
（Ⅰ）若3是關(guān)于x的方程f（x）-g（x）=0的一個(gè)解，求t的值；
（Ⅱ）當(dāng)0＜a＜1且t=1時(shí)，解不等式f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）若函數(shù)F（x）=a^f（x）+tx²-2t+1在區(qū)間（-1，3]上有零點(diǎn)，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意得log_a4-2log_a（6+t）=0，從而解得t的值；
（Ⅱ）由題意得log_a（x+1）≤2log_a（2x+1），由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得$\left\{\begin{array}{l}{x+1≥（2x+1）^{2}}\\{2x+1＞0}\end{array}\right.$，從而得解．
（3）化簡(jiǎn)F（x）=tx²+x-2t+2，從而令tx²+x-2t+2=0，討論可得$\frac{1}{t}$=-[（x+2）+$\frac{2}{x+2}$]+4，從而得解．

解答 解：（Ⅰ）∵3是關(guān)于x的方程f（x）-g（x）=0的一個(gè)解，
∴l(xiāng)og_a4-2log_a（6+t）=0，
∴2=（2+t）²，
∴t=-4．…（2分）
（Ⅱ）當(dāng)0＜a＜1且t=1時(shí)，不等式f（x）≤g（x）化為$\left\{\begin{array}{l}{x+1≥（2x+1）^{2}}\\{2x+1＞0}\end{array}\right.$，∴-$\frac{1}{2}＜x≤0$
∴解集為：{x|-$\frac{1}{2}＜x≤0$}；…（5分）
（Ⅲ）F（x）=a^f（x）+tx²-2t+1
=x+1+tx²-2t+1=tx²+x-2t+2，
令tx²+x-2t+2=0，
即t（x²-2）=-（x+2），
∵x∈（-1，3]，∴x+2∈（1，5]，
∴t≠0，x²-2≠0；
∴$\frac{1}{t}$=-[（x+2）+$\frac{2}{x+2}$]+4，
∵2$\sqrt{2}$≤（x+2）+$\frac{2}{x+2}$≤$\frac{27}{5}$，
∴-$\frac{7}{5}$≤-[（x+2）+$\frac{2}{x+2}$]+4≤4-2$\sqrt{2}$，
∴t≤-$\frac{5}{7}$或t≥$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用及不等式的解法．