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14.已知函數(shù)f(x)=2x+a,g(x)=12|x|+2.
(1)求函數(shù)g(x)的值域;
(2)若a=0,求滿足方程f(x)-g(x)=0的x的值.
(3)?x0∈[1,2],f(x)+g(x)≥0成立,求a的范圍.

分析 (1)由2|x|≥1,可得12|x|∈(0,1],進(jìn)而得到函數(shù)g(x)的值域;
(2)若a=0,則方程f(x)-g(x)=0可化為:2x=12|x|+2,解得答案;
(3)若?x0∈[1,2],f(x)+g(x)≥0成立,則f(x)+g(x)的最大值不小于0,進(jìn)而可得a的范圍.

解答 解:(1)∵2|x|≥1,
12|x|∈(0,1],
∴g(x)=12|x|+2∈(2,3],
故函數(shù)g(x)=12|x|+2的值域?yàn)椋?,3];
(2)若a=0,則方程f(x)-g(x)=0可化為:2x=12|x|+2,
由(1)得:方程的根在區(qū)間(1,log23]上,
故方程可化為:2x=12x+2,即:(2x2-2¯2x-1=0,
解得:2x=2+1,
x=log22+1;
(3)令F(x)=f(x)+g(x)=2x+a+12|x|+2.
當(dāng)x∈[1,2]時,F(xiàn)(x)=2x+12x+a+2;
由對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得:當(dāng)x=2時,F(xiàn)(x)取最大值a+254
若?x0∈[1,2],f(x)+g(x)≥0成立,
則a+254≥0,
即a≥-254

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的最值,函數(shù)的值域,方程的根與函數(shù)的零點(diǎn),難度中檔.

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