Question

對稱軸為坐標軸，頂點在坐標原點的拋物線C經過兩點A（a，2a）、B（4a，4a），（其中a為正常數）．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設動點T（m，0）（m＞a），直線AT、BT與拋物線C的另一個交點分別為A₁、B₁，當m變化時，記所有直線A₁B₁組成的集合為M，求證：集合M中的任意兩條直線都相交且交點都不在坐標軸上．

Answer 1

分析：（1）由于兩點在第一象限內，故拋物線開口向右或向上，由此分兩種情況利用待定系數法求得拋物線的標準方程；
（2）先將點A₁、B₁的坐標用a、m表示，再利用點斜式寫出直線A₁B₁的方程，證明其斜率隨m的變化而單調變化，即可證明集合M中的任意兩條直線都相交，證明直線的截距不為零即可證明交點都不在坐標軸上．

解答：解：（1）當拋物線焦點在x軸上時，設拋物線方程y²=2Px，
∵

4a2=2pa 16a2=8pa

∴P=2a
∴y²=4ax
當拋物線焦點在y軸上時，設拋物線方程x²=2py
∵

a2=4pa 16a2=8pa

∴方程無解，拋物線不存在
∴拋物線C的方程y²=4ax
（2）設A₁（as²，2as）、B₁（at²，2at）  T（m，0）（m＞a）
∵k_TA=k_TA1 ∴

2a

a-m

=

2as

as 2-m

∴as²+（m-a）s-m=0
∵（as+m）（s-1）=0∴S=-

m

a

∴A₁（

m 2

a

，-2m） 
∵k_TB=k_TB1 ∴

4a

4a-m

=

2at

at 2-m

∵2at²+（m-4a）t-2m=0∴（2at+m）（t-2）=0
∴t=-

m

2a

∴B₁（

m 2

4a

，-m） 
∴l(xiāng)_A1B1的直線方程為y+2m=

-2m+m

m 2 a - m 2 4a

（x-

m 2

a

）
∵直線的斜率為f（m）=-

4a

3m

在m∈（a，+∞）單調
∴所以集合M中的直線必定相交，
∵直線的橫截距為-

m 2

2a

≠0，縱截距為-

2m

3

≠0
∴任意兩條直線都相交且交點都不在坐標軸上．

點評：本題主要考查了拋物線的標準方程，待定系數法求曲線方程，直線方程，直線與拋物線的位置關系，直線相交的意義等知識，屬中檔題