Question

8．請(qǐng)你為某養(yǎng)路處設(shè)計(jì)一個(gè)用于儲(chǔ)藏食鹽的倉庫（供融化高速公路上的積雪之用）．它的上部是底面圓半徑為5m的圓錐，下部是底面圓半徑為5m的圓柱，且該倉庫的總高度為5m．經(jīng)過預(yù)算，制造該倉庫的圓錐側(cè)面、圓柱側(cè)面用料的單價(jià)分別為4百元/m²，1百元/m²，設(shè)圓錐母線與底面所成角為θ，且θ∈（0，$\frac{π}{4}$），問當(dāng)θ為多少時(shí)，該倉庫的側(cè)面總造價(jià)（單位：百元）最少？并求出此時(shí)圓錐的高度．

Answer 1

分析 設(shè)該倉庫的側(cè)面總造價(jià)為y，運(yùn)用圓柱和圓錐的側(cè)面積公式，結(jié)合條件，可得函數(shù)解析式，求出導(dǎo)數(shù)，極值點(diǎn)也為最值點(diǎn)，即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)該倉庫的側(cè)面總造價(jià)為y，
則$y=[{2π×5×5（1-tanθ）}]×1+[{\frac{1}{2}×2π×5×\frac{5}{cosθ}}]×4$=$50π（{1+\frac{2-sinθ}{cosθ}}）$，（6分）
由$y'=50π（{\frac{2sinθ-1}{{co{s^2}θ}}}）=0$，得$sinθ=\frac{1}{2}$，$θ∈（{0，\frac{π}{4}}）$，
所以$θ=\frac{π}{6}$，（10分）
列表：

θ	$（{0，\frac{π}{4}}）$	$\frac{π}{6}$	$（{\frac{π}{6}，\frac{π}{4}}）$
y'	-	0	+
y	↘	極小值	↗

所以當(dāng)$θ=\frac{π}{6}$時(shí)，側(cè)面總造價(jià)y最小，此時(shí)圓錐的高度為$\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$m．（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型在實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查化簡(jiǎn)整理運(yùn)算能力，屬于中檔題．