Question

已知：x＞-1，證明：ln（x+1）≤x．

Answer 1

分析：令f（x）=x-ln（x+1），根據(jù) 它的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可得函數(shù)f（x）的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）取得最小值為0，即f（x）≥0，從而證得不等式．

解答：解：令f（x）=x-ln（x+1），則它的導(dǎo)數(shù)為 f′（x）=1-

1

1+x

．
當(dāng)0＞x＞-1時(shí)，f′（x）＜0，故函數(shù)f（x）在（-1，0）上是減函數(shù)．
當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，f′（x）=0，故函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)．
故當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為0，
故有f（x）=x-ln（x+1）≥0，∴l(xiāng)n（x+1）≤x．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于
中檔題．