(2012•豐臺區(qū)一模)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且asinB-bcosC=ccosB.
(Ⅰ)判斷△ABC的形狀;
(Ⅱ)若f(x)=sinx+cosx,求f(A)的最大值.
分析:(I)法一:由已知結(jié)合正弦定理對已知化簡可求B,進而可判斷三角形的形狀
法二:由已知結(jié)合余弦定理對已知化簡可求B,進而可判斷三角形的形狀
(II)由輔助角公式對已知函數(shù)f(x)先化簡,然后代入可求f(A),結(jié)合(I)中的角B可求A的 范圍,然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解
解答:解:(Ⅰ)(法1)因為 asinB-bcosC=ccosB,
由正弦定理可得 sinAsinB-sinBcosC=sinCcosB.         …(3分)
即sinAsinB=sinCcosB+cosCsinB,
所以 sin(C+B)=sinAsinB.                                …(4分)
因為在△ABC中,A+B+C=π,
所以 sinA=sinAsinB又sinA≠0,…(5分)
所以 sinB=1,B=
π
2

所以△ABC為B=
π
2
的直角三角形.                           …(6分)
(法2)因為 asinB-bcosC=ccosB,
由余弦定理可得 asinB=b•
a2+b2-c2
2ab
+c•
a2+c2-b2
2ac
,…(4分)
所以 asinB=a.
因為a≠0,所以sinB=1.                                  …(5分)
所以在△ABC中,B=
π
2

所以△ABC為B=
π
2
的直角三角形.                           …(6分)
(Ⅱ)因為 f(x)=sinx+cosx=
2
sin(x+
π
4
)
,…(8分)
所以 f(A)=
2
sin(A+
π
4
)
.                                 …(9分)
因為△ABC是B=
π
2
的直角三角形,
所以 0<A<
π
2
,…(10分)
所以 
π
4
<A+
π
4
4
,…(11分)
所以 
2
2
<sin(A+
π
4
)≤1
.                                  …(12分)
即f(A)的最大值為
2
.                                    …(13分)
點評:本題主要考查了正弦定理、余弦定理及和差角公式在求解三角形中的應用,其中正弦函數(shù)性質(zhì)的靈活應用是求解(II)的關(guān)鍵
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a
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,
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