Question

已知函數(shù)y=f（x）的定義域為（-π，π），且函數(shù)y=f（x+

1

2

）的圖象關于直線x=-

1

2

對稱，當x∈（0，π）時，f（x）=-f′（

π

2

）sinx-πl(wèi)nx，其中f′（x）是y=f（x）的導函數(shù)，若a=f（3^0.3），b=f（log_π3），c=f（log₂

1

4

），則a，b，c的大小關系是（　　）

• A、a＜b＜c
• B、c＜a＜b
• C、b＜a＜c
• D、c＜b＜a

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的圖象

專題：導數(shù)的概念及應用

分析：由題意可知函數(shù)為偶函數(shù)，把給出的函數(shù)解析式求導后求出f′（

π

2

）的值，代入導函數(shù)解析式判斷導函數(shù)的符號，得到原函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性得答案．

解答： 解：由x∈（0，π）時，f（x）=-f′（

π

2

）sinx-πl(wèi)nx，
∴f′（x）=-f′（

π

2

）cosx-

π

x

，
∴f′（

π

2

）=-f′（

π

2

）cos

π

2

-

π

π 2

=-2，
則f′（x）=2cosx-

π

x

．
所以當x∈（0，π）時，f′（x）＜0．
則f（x）在x∈（0，π）上為 減函數(shù)．
因為函數(shù)y=f（x+

1

2

）的圖象關于直線x=-

1

2

對稱，則函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)，
因為

log

1 4 2

=-2，而1＜3^0.3＜2，0＜log_π3＜1．
所以f（

log

3 π

）＞f（3^0.3）＞f（2）=f（-2）=f（

log

1 4 2

）．
所以b＞a＞c．
故選B．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與導函數(shù)之間的關系，考查了函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，解答的關鍵在于判斷函數(shù)在（0，π）上的單調(diào)性，是中檔題．