Question

【題目】已知函數(shù) ．
（1）若曲線 在 處的切線經過坐標原點，求 及該切線的方程；
（2）設 ，若函數(shù) 的值域為 ，求實數(shù) 的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得 （ ），
則 ，所以 ，
所以所求切線方程為
（2）解：令 ，得 ；令 ，得 ．　
所以 在 上單調遞減，在 上單調遞增，
所以 ，所以 .
而 在 上單調遞增，所以 .
欲使函數(shù) 的值域為 ，須 .
①當 時，只須 ，即 ，所以 .
②當 時， ， ，
只須 對一切 恒成立，即 對一切 恒成立，
令 ，得 ，
所以 在 上為增函數(shù)，
所以 ，所以 對一切 恒成立.
綜上所述：
【解析】（1）根據(jù)題目中所給的條件的特點，先求出原函數(shù)的導數(shù)，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可求出切線方程，
（2）根據(jù)導數(shù)的應用先求出函數(shù)f（x）的值域、g（x）的值域，再根據(jù)分段函數(shù)F（x）的值域為一切實數(shù)，分類討論可求出a的范圍．
導數(shù)和函數(shù)的單調性的關系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是增函數(shù)，f′（x）＞0的解集與定義域的交集的對應區(qū)間為增區(qū)間；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是減函數(shù)，f′（x）＜0的解集與定義域的交集的對應區(qū)間為減區(qū)間．
【考點精析】利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．