Question

如圖1所示，點D是等邊三角形ABC的邊BC上一點，連結AD作∠ADE=60°，交∠ABC的外角平分線CE于E
（1）求證：AD=DE；
（2）當點D運動到CB的延長線上是，如圖2所示，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明．若不成立，請說明理由．

Answer 1

考點：三角形中的幾何計算

專題：解三角形

分析：（1）先證明出ADCE共圓，進而推斷出∠AED=60°，證明出三角形為正三角形，最后得證．
（2）先證明出ADCE共圓，進而推斷出∠AED=60°，證明出三角形為正三角形，最后得證．

解答： （1）證明：∵∠ADE=∠ACE=60°
∴ADCE共圓，AE是公共弦，
∵以AD為公共弦，
∴∠AED=∠ACB=60°
∴△ADE為正三角形，
∴AD=DE
（2）仍成立
∵△ABC是等邊三角形，CE是∠ACB的外角平分線，
∴∠ACE=120°，
∵∠ADE=60°，∴∠ADE+∠ACE=180°，
∴A、D、E、C四點共圓，
∴∠AED=∠ACD=60°，
∴△ADE是等邊三角形，
∴AD=DE．

點評：本題主要考查了三角形中的幾何運算．解題的過程中主要是運用了四點公圓的性質．