Question

6．已知數列{a_n}滿足a_n+2=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}+2，n為奇數}\\{2{a}_{n}，n為偶數}\end{array}\right.$，n∈N*，且a₁=1，a₂=2．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=（-1）ⁿa_na_n+1，n∈N*，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）討論當n為奇數時，由等差數列的通項公式可得；當n為偶數時，由等比數列的通項公式可得；
（2）討論n為偶數時，兩兩結合，再由等比數列的求和公式，可得所求和；當n為奇數時，前n項和S_n=S_n-1-n•2${\;}^{\frac{n+1}{2}}$，化簡即可得到所求和．

解答 解：（1）a_n+2=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}+2，n為奇數}\\{2{a}_{n}，n為偶數}\end{array}\right.$，n∈N*，且a₁=1，a₂=2．
當n為奇數時，a_n+2=a_n+2，可得奇數項成首項為1，公差為2的等差數列，且為a_n=n；
當n為偶數時，a_n+2=2a_n，可得偶數項成首項為2，公比為2的等差數列，且為a_n=2${\;}^{\frac{n}{2}}$；
即有a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n為奇數}\\{{2}^{\frac{n}{2}}，n為偶數}\end{array}\right.$；
（2）令b_n=（-1）ⁿa_na_n+1，n∈N*，
當n為偶數時，前n項和S_n=-a₁a₂+a₂a₃-a₃a₄+a₄a₅-a₅a₆+a₆a₇-…-a_n-1a_n+a_na_n+1
=-1×2+2×3-3×4+4×5-5×8+8×7-…-（n-1）•2${\;}^{\frac{n}{2}}$+（n+1）•2${\;}^{\frac{n}{2}}$
=2×2+4×2+8×2+…+2${\;}^{\frac{n}{2}}$×2=2（2+4+8+…+2${\;}^{\frac{n}{2}}$）=2•$\frac{2（1-{2}^{\frac{n}{2}）}}{1-2}$=4（2${\;}^{\frac{n}{2}}$-1）；
當n為奇數時，前n項和S_n=S_n-1-n•2${\;}^{\frac{n+1}{2}}$=4（2${\;}^{\frac{n-1}{2}}$-1）-n•2${\;}^{\frac{n+1}{2}}$=（2-n）•2${\;}^{\frac{n+1}{2}}$-4．
則數列{b_n}的前n項和S_n=$\left\{\begin{array}{l}{（2-n）•{2}^{\frac{n+1}{2}}-4，n為奇數}\\{4（{2}^{\frac{n}{2}}-1），n為偶數}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數列的通項公式和數列的求和，注意運用分類討論的思想方法，考查等差數列、等比數列的通項公式和求和公式的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．