【答案】
分析:根據(jù)題意,以BC為直徑的球與線段PD有交點(diǎn),因此設(shè)BC的中點(diǎn)為O(即球心),取AD的中點(diǎn)M,連接OM,作ME⊥PD于點(diǎn)E,連接OE.要使以BC為直徑的球與PD有交點(diǎn),只要OE≤OC即可,設(shè)OC=OB=R,算出ME=

,從而得到OE
2=9+

≤R
2,解此不等式得R≥2

,所以AD的取值范圍[4

,+∞).最后根據(jù)AD=4

時,點(diǎn)E在線段PD上惟一存在,結(jié)合二面角平面角的定義和題中數(shù)據(jù),易得此時二面角E-BC-A正切值.
解答:解:若以BC為直徑的球面與線段PD有交點(diǎn)E,由于點(diǎn)E與BC確定的平面與球的截面是一個大圓,則必有BE⊥CE,因此問題

轉(zhuǎn)化為以BC為直徑的球與線段PD有交點(diǎn).
設(shè)BC的中點(diǎn)為O(即球心),再取AD的中點(diǎn)M,
∵AB⊥AD,AB⊥AP,AP∩AD=A,∴AB⊥平面PAD,
∵矩形ABCD中,O、M是對邊中點(diǎn)的連線
∴OM∥AB,可得OM⊥平面PAD,
作ME⊥PD交PD于點(diǎn)E,連接OE,
則OE⊥PD,所以O(shè)E即為點(diǎn)O到直線PD的距離,
又∵OD>OC,OP>OA>OB,點(diǎn)P,D在球O外,
∴要使以BC為直徑的球與線段PD有交點(diǎn),只要使OE≤OC(設(shè)OC=OB=R)即可.
由于△DEM∽△DAP,可求得ME=

,

∴OE
2=9+ME
2=9+

令OE
2≤R
2,即9+

≤R
2,解之得R≥2

;
∴AD=2R≥4

,得AD的取值范圍[4

,+∞),
當(dāng)且僅當(dāng)AD=4

時,點(diǎn)E在線段PD上惟一存在,
此時作EH∥PA交AD于H,再作HK⊥BC于K,連接EK,
可得BC⊥平面EHK,∠EKH即為二面角E-BC-A的平面角
∵以BC為直徑的球半徑R=

=OE,∴ME=

=

,
由此可得ED=

=3,所以EH=

=

=

∵PA⊥平面ABCD,EH∥PA,∴EH⊥平面ABCD,得EH⊥HK
∵Rt△EHK中,HK=AB=3,∴tan∠EKH=

=

即二面角E-BC-A的平面角正切值為

.
點(diǎn)評:本題給出特殊四棱錐,探索空間兩條直線相互垂直的問題,并求二面角的正切值,著重考查了空間垂直位置關(guān)系的證明和二面角平面角的作法,以及求二面角大小等知識點(diǎn),屬于中檔題.