Question

如圖，四棱錐中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且與底面垂直，底面是的菱形，為的中點(diǎn).

(Ⅰ)求與底面所成角的大小；

(Ⅱ)求證：平面；

(Ⅲ)求二面角的余弦值.

Answer 1

解析：求線面角關(guān)鍵是作垂線，找射影，求異面直線所成的角采用平

移法  求二面角的大小也可應(yīng)用面積射影法，比較好的方法是向量法 

答案：(I)取DC的中點(diǎn)O，由ΔPDC是正三角形，有PO⊥DC．

又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O．

連結(jié)OA，則OA是PA在底面上的射影．∴∠PAO就是PA與底面所成角．

∵∠ADC=60°，由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形，從而求得OA=OP=．

∴∠PAO=45°．∴PA與底面ABCD可成角的大小為45°．               ……6分

(II)由底面ABCD為菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC．

建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則, ．

由M為PB中點(diǎn)，∴．

∴．

∴，

．

∴PA⊥DM，PA⊥DC．   ∴PA⊥平面DMC．                                             ……4分

(III)．令平面BMC的法向量，

則，從而x+z=0；  ……①,  ，從而． ……②

由①、②，取x=−1，則．   ∴可取．

由(II)知平面CDM的法向量可取，

∴． ∴所求二面角的余弦值為－．    ……6分

法二：（Ⅰ）方法同上                               

（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連接，由（Ⅰ）知，在菱形中，由于，

則，又，則，即，

又在中，中位線，，則，

則四邊形為，所以，在中，，

則，故而，

則

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，則為二面角的平面角，

在中，易得，，

故，所求二面角的余弦值為