Question

已知函數(shù)f（x）=（x+a）e^x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（Ⅰ）當x∈[0，4]時，函數(shù)f（x）≥e²恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當a≠0時，求函數(shù)F（x）=af（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）當x∈[0，4]時，函數(shù)f（x）≥e²恒成立，等價為f_min（x）≥e²恒成立求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當a≠0時，討論a的符號和求函數(shù)F（x）=af（x）的單調區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)的導數(shù)的為f′（x）=（x+a+1）e^x，
當x∈[0，4]時，函數(shù)f（x）≥e²恒成立，等價為f_min（x）≥e²恒成立；
令f′（x）=0，解得x=-a-1，
f（x），f′（x）的情況如下：

x	（-∞，-a-1）	-a-1	（-a-1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

①當-a-1≤0，即a≥-1時，f（x）在[0，4]上的最小值為f（0），
若滿足題意只需f（0）≥e²，解得a≥e²；
②當0＜-a-1＜4，即-5＜a＜-1時，f（x）在[0，4]上的最小值為f（-a-1），
若滿足題意只需f（-a-1））≥e²，求解可得此不等式無解，
所以a不存在；
③當-a-1≥4，即a≤-5時，f（x）在[0，4]上的最小值為f（4），
若滿足題意只需需f（4）≥e²，解得（4+a）e⁴≥e²，
所以此時，a不存在．
綜上實數(shù)a的取值范圍為a≥e²；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）的增區(qū)間為（-a-1，+∞），單調減區(qū)間為（-∞，-a-1），
∴若a＞0，函數(shù)F（x）=af（x）的單調性與f（x）的單調性相同，
若a＜0，函數(shù)F（x）=af（x）的單調性與f（x）的單調性相反，
綜上當a＞0時，函數(shù)F（x）=af（x）的增區(qū)間為（-a-1，+∞），單調減區(qū)間為（-∞，-a-1），
當a＜0時，函數(shù)F（x）=af（x）的增區(qū)間為（-∞，-a-1），F(xiàn)（x）=af（x）的單調減區(qū)間為（-a-1，+∞）．

點評：本題主要考查函數(shù)單調性和函數(shù)最值之間的應用，將不等式恒成立轉化為求函數(shù)的最值是解決本題的關鍵．