已知函數(shù)f(x)=(x+a)ex,其中e是自然對數(shù)的底數(shù),a∈R.
(Ⅰ)當x∈[0,4]時,函數(shù)f(x)≥e2恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)當a≠0時,求函數(shù)F(x)=af(x)的單調區(qū)間.
考點:利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性
專題:導數(shù)的綜合應用
分析:(Ⅰ)當x∈[0,4]時,函數(shù)f(x)≥e2恒成立,等價為fmin(x)≥e2恒成立求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)當a≠0時,討論a的符號和求函數(shù)F(x)=af(x)的單調區(qū)間.
解答: 解:(Ⅰ)函數(shù)的導數(shù)的為f′(x)=(x+a+1)ex,
當x∈[0,4]時,函數(shù)f(x)≥e2恒成立,等價為fmin(x)≥e2恒成立;
令f′(x)=0,解得x=-a-1,
f(x),f′(x)的情況如下:
x(-∞,-a-1)-a-1(-a-1,+∞)
f′(x)-0+
f(x)極小值
①當-a-1≤0,即a≥-1時,f(x)在[0,4]上的最小值為f(0),
若滿足題意只需f(0)≥e2,解得a≥e2;
②當0<-a-1<4,即-5<a<-1時,f(x)在[0,4]上的最小值為f(-a-1),
若滿足題意只需f(-a-1))≥e2,求解可得此不等式無解,
所以a不存在;
③當-a-1≥4,即a≤-5時,f(x)在[0,4]上的最小值為f(4),
若滿足題意只需需f(4)≥e2,解得(4+a)e4≥e2,
所以此時,a不存在.
綜上實數(shù)a的取值范圍為a≥e2;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)的增區(qū)間為(-a-1,+∞),單調減區(qū)間為(-∞,-a-1),
∴若a>0,函數(shù)F(x)=af(x)的單調性與f(x)的單調性相同,
若a<0,函數(shù)F(x)=af(x)的單調性與f(x)的單調性相反,
綜上當a>0時,函數(shù)F(x)=af(x)的增區(qū)間為(-a-1,+∞),單調減區(qū)間為(-∞,-a-1),
當a<0時,函數(shù)F(x)=af(x)的增區(qū)間為(-∞,-a-1),F(xiàn)(x)=af(x)的單調減區(qū)間為(-a-1,+∞).
點評:本題主要考查函數(shù)單調性和函數(shù)最值之間的應用,將不等式恒成立轉化為求函數(shù)的最值是解決本題的關鍵.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若a>0,b>0,且2a+b=1,則S=
ab
-4a2-b2的最大值為(  )
A、
2
+2
4
B、
2
2
-1
C、
2
-2
4
D、
2
2
+1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在△ABC中,有命題
AB
-
AC
=
BC
;
AB
+
BC
+
CA
=
0
;
③若(
AB
+
AC
)•(
AB
+
AC
)=
0
,則△ABC為等腰三角形;
④若
AC
AB
>0,則△ABC為銳角三角形.
上述命題正確的有( 。﹤.
A、1個B、2個C、3個D、4個

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設向量
a
,
b
的夾角為θ,
a
=(2,1),
a
+3
b
=(5,4),求sinθ的值.

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已知函數(shù)f(x)=ex-x.
(1)若函數(shù)g(x)=f(x)-ax2-1的導函數(shù)g′(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),求實數(shù)a的最大值;
(2)證明在(1)的條件下,當a取最大值時,有f(x)≥
1
2
x2+1(x∈[0,+∞))
(3)證明:f(
1
2
)+f(
1
3
)+…+f(
1
n+1
)>n[1+
1
4(n+2)
](n∈N*

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在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,點E,F(xiàn)在BC邊上(不與B,C重合),∠EAF=45°,問以BE、EF、FC三條線段為邊,是否總能構成直角三角形?請說明結論及理由.

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給定橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),稱圓心在原點O、半徑是
a2+b2
的圓為橢圓C的“準圓”.已知橢圓C的一個焦點為F(
2
,0),其短軸的一個端點到點F的距離為
3

(Ⅰ)求橢圓C及其“準圓”的方程
(Ⅱ)若點A是橢圓C的“準圓”與x軸正半軸的交點,B,D是橢圓C上的相異兩點,且BD⊥x軸,求
AB
AD
的取值范圍;
(Ⅲ)在橢圓C的“準圓”上任取一點P(1,
3
),過點P作兩條直線l1,l2,使得l1,l2與橢圓C都只有一個公共點,且l1,l2分別與橢圓的“準圓”交于M,N兩點.證明:直線MN過原點O.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a(1-|x-1|),a為常數(shù),且a>1.
(1)證明函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=1對稱;
(2)當a=2時,討論方程f(f(x))=m解的個數(shù);
(3)若x0滿足f(f(x0))=x0,但f(x0)≠x0,則稱x0為函數(shù)f(x)的二階周期點,則f(x)是否有兩個二階周期點,說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知動圓P與圓F1:(x+3)2+y2=81相切,且與圓F2:(x-3)2+y2=1相內切,記圓心P的軌跡為曲線C;設Q為曲線C上的一個不在x軸上的動點,O為坐標原點,過點F2作OQ的平行線交曲線C于M,N兩個不同的點.
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)試探究|MN|和|OQ|2的比值能否為一個常數(shù)?若能,求出這個常數(shù);若不能,請說明理由;
(Ⅲ)記△QMN的面積為S,求S的最大值.

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