Question

（2013•烏魯木齊一模）已知點(diǎn)F（ 1，0），⊙F與直線(xiàn)4x+3y+1=0相切，動(dòng)圓M與⊙F及y軸都相切．
（I ）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（II）過(guò)點(diǎn)F任作直線(xiàn)l，交曲線(xiàn)C于A，B兩點(diǎn)，由點(diǎn)A，B分別向⊙F各引一條切線(xiàn)，切點(diǎn) 分別為P，Q，記α=∠PAF，β=∠QBF．求證sinα+sinβ是定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式及切線(xiàn)的性質(zhì)、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得到⊙F的方程；動(dòng)圓M與⊙F及y軸都相切分切點(diǎn)不是原點(diǎn)、切點(diǎn)是原點(diǎn)兩種情況分別求出即可：
（Ⅱ）對(duì)直線(xiàn)l的斜率分存在和不存在兩種情況：把直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及拋物線(xiàn)的定義即可得出．

解答：解：（Ⅰ）⊙F的半徑r

|4+1|

42+32

=1，∴⊙F的方程為（x-1）²+y²=1，
由題意動(dòng)圓M與⊙F及y軸都相切，分以下情況：
（1）動(dòng)圓M與⊙F及y軸都相切，但切點(diǎn)不是原點(diǎn)的情況：
作MH⊥y軸于H，則|MF|-1=|MH|，即|MF|=|MH|+1，
過(guò)M作直線(xiàn)x=-1的垂線(xiàn)MN，N為垂足，
則|MF|=|MN|，
∴點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，x=-1為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，
∴點(diǎn)M的軌跡C的方程為y²=4x（x≠0）；
（2）動(dòng)圓M與⊙F及y軸都相切且僅切于原點(diǎn)的情況：
此時(shí)點(diǎn)M的軌跡C的方程為y=0（x≠0，1）；             
（Ⅱ）對(duì)于（Ⅰ）中（1）的情況：
當(dāng)l不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x-1），
由

y=k(x-1) y2=4x

得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=2k2+4，x₁x₂=1，
∴sinα+sinβ=

1

|AF|

+

1

|BF|

=

1

x1+1

+

1

x2+1

=

x1+x2+2

x1x2+x1+x2+1

=1．
當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，也可得sinα+sinβ=1，
對(duì)于（Ⅰ）中（2）的情況不符合題意（即作直線(xiàn)l，交C于一個(gè)點(diǎn)或無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，而非兩個(gè)交點(diǎn)）．
綜上，有sinα+sinβ=1．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及切線(xiàn)的性質(zhì)、分類(lèi)討論的思想方法、直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立并利用根與系數(shù)的關(guān)系及拋物線(xiàn)的定義是解題的關(guān)鍵．