Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題（1）先求函數(shù)的定義域與導(dǎo)數(shù)，對(duì)是否在定義域內(nèi)以及在定義域內(nèi)與進(jìn)行大小比較，從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）在（1）的條件下結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)存在定理對(duì)端點(diǎn)值或極值的正負(fù)進(jìn)行限制，從而求出參數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）函數(shù)定義域?yàn)?/span>，

，

①當(dāng)，即時(shí)，

令，得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，

令，得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；

②當(dāng)，即時(shí)，

令，得或，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，

令，得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；

③當(dāng)，即時(shí)，恒成立，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；

（2）①當(dāng)時(shí)，由（1）可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，在單調(diào)遞增，

所以在上的最小值為，

由于，

要使在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

需滿足或，解得或，

所以當(dāng)或時(shí)，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

且，，

所以當(dāng)時(shí)，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，由（1）可知，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

又因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，總有，

因?yàn)?/span>，

所以，

所以在區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn)，

又因?yàn)?/span>在內(nèi)單調(diào)遞增，

從而當(dāng)時(shí)，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

綜上所述，當(dāng)或或時(shí)，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).