Question

已知函數(shù)

(Ⅰ)設，求的單調區(qū)間;

(Ⅱ) 設，且對于任意，.試比較與的大小.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是 

(Ⅱ)

【解析】(Ⅰ)由得

（1）當時，

(i)若，當時，恒成立，

所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間是.

(ii)若，當時，，函數(shù)單調遞減，

當時，，函數(shù)單調遞增.

所以的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是

（2）當時，令得，

由得

顯然

當時，，函數(shù)單調遞減；

當時，，函數(shù)單調遞增.

所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間是，

單調遞增區(qū)間是.

(Ⅱ)由題意知函數(shù)在處取得最小值，

由（I）知是的唯一極小值點，

故，整理得，

令則

由得

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減.

因此

故，即

即

【考點定位】本題考查導數(shù)法研究函數(shù)的單調性和相關函數(shù)值的大小比較，考查分類討論思想、推理論證能力和運算求解能力.函數(shù)的單調區(qū)間判斷必然通過導數(shù)方法來解決，伴隨而來的是關于的分類討論.比較與的大小時要根據(jù)已知條件和第一問的知識儲備，構造新的函數(shù)利用單調性直接運算函數(shù)值得到結論.本題具備導數(shù)研究函數(shù)單調性的特征，必然按照程序化運行，即求導、關于參數(shù)分類討論、確定單調區(qū)間等步驟進行.而第二問則是在第一問的基礎上進一步挖掘解題素材，如隱含條件的發(fā)現(xiàn)、新函數(shù)的構造等，都為解決問題提供了有力支持.