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用數學歸納法證明：當x＞-1，n∈N+時，（1+x）n≥1+nx．
分析：要證明當x＞-1時，（1+x）n≥1+nx，先證明n=1時，（1+x）n≥1+nx成立，再假設n=k時，（1+x）n≥1+nx成立，進而證明出n=k+1時，（1+x）n≥1+nx也成立，即可得到對于任意正整數n：當x＞-1時，（1+x）n≥1+nx．
解答：解：因為（1+x）n≥1+nx為關于n的不等式，x為參數，以下用數學歸納法證明：
（�。┊攏=1時，原不等式成立；
當n=2時，左邊=1+2x+x2，右邊=1+2x，
因為x2≥0，所以左邊≥右邊，原不等式成立；
（ⅱ）假設當n=k時，不等式成立，即（1+x）k≥1+kx，
則當n=k+1時，
∵x＞-1，
∴1+x＞0，于是在不等式（1+x）k≥1+kx兩邊同乘以1+x得
（1+x）k•（1+x）≥（1+kx）•（1+x）=1+（k+1）x+kx2≥1+（k+1）x，
所以（1+x）k+1≥1+（k+1）x．即當n=k+1時，不等式也成立．
綜合（�。áⅲ┲�，對一切正整數n，不等式都成立．
點評：數學歸納法常常用來證明一個與自然數集N相關的性質，其步驟為：設P（n）是關于自然數n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數n都成立．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知m，n為正整數．
（Ⅰ）用數學歸納法證明：當x＞-1時，（1+x）m≥1+mx；
（Ⅱ）對于n≥6，已知(1-
1
n+3
)n＜
1
2
，求證(1-
m
n+3
)n＜(
1
2
)m，m=1，2…，n；
（Ⅲ）求出滿足等式3n+4n+5n+…+（n+2）n=（n+3）n的所有正整數n．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知：函數f(x)=-
1
6
x3+
1
2
x2+x，x∈R．
（Ⅰ）求證：函數f（x）的圖象關于點A(1，
4
3
)中心對稱，并求f（-2007）+f（-2006）+…+f（0）+f（1）+…+f（2009）的值．
（Ⅱ）設g（x）=f′（x），an+1=g（an），n∈N+，且1＜a1＜2，求證：
（�。┱堄脭祵W歸納法證明：當n≥2時，1＜an＜
3
2
；
（ⅱ）|a1-
2
|+|a2-
2
|+…+|an-
2
|＜2．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（理科做）設f(n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
，用數學歸納法證明：當n≥2，n∈N*時，n+f（1）+f（2）+…+f（n-1）=nf（n）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

用數學歸納法證明：當n為正奇數時，xn+yn能被x+y整除，第二步的假設應寫成
假設n=2k-1，k∈N*時命題正確，即當n=2k-1，k∈N*時，x2k-1+y2k-1能被x+y整除
假設n=2k-1，k∈N*時命題正確，即當n=2k-1，k∈N*時，x2k-1+y2k-1能被x+y整除
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

用數學歸納法證明：當n為正奇數時，xn+yn能被x+y整除，第二步的假設應寫成假設n=
2k-1
2k-1
，k∈N*時命題正確，再證明n=
2k+1
2k+1
，k∈N*時命題正確．

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