Question

橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為2，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線l₁過(guò)點(diǎn)F₁且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線l₂垂直l₁于點(diǎn)P，線段PF₂垂直平分線交l₂于點(diǎn)M
（1）求橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程和動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C₂的方程．
（2）過(guò)橢圓C₁的右焦點(diǎn)F₂作斜率為1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求△ABF₁的面積．
（3）設(shè)軌跡C₂與x軸交于點(diǎn)Q，不同的兩點(diǎn)R、S在軌跡C₂上，
滿(mǎn)足

QR

•

QS

=0求證：直線RS恒過(guò)x軸上的定點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知：2a=4，即a=2，2c=2，即c=1，b²=a²-c²=3，故橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1，由MP=MF₂，知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定直線l₁：x=-1，的距離等于它到定點(diǎn)F₁（1，0）的距離，由此能求出點(diǎn)M的軌跡C₂的方程．
（2）

x2 4 + y2 3 =1 y=x-1

消去x并整理得：7y²+6y-9=0，設(shè)A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）則y3+y4=-

6

7

，y3y4=-

9

7

，由此能求出△ABF₁的面積．
（3）Q（0，0），設(shè)R(

y12

4

，y1)  ，S(

y22

4

，y2)，kRS=

y2-y1

y22 4 - y21 4

=

4

y1+y2

，由

QR

•

QS

=0，知

y 2 1 y 2 2

16

+y1y2=0，由題設(shè)知直線RS恒過(guò)定點(diǎn)（4，0）．

解答：解：（1）由題設(shè)知：2a=4，即a=2，2c=2，即c=1，b²=a²-c²=3，故橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1，由MP=MF₂，知
∴動(dòng)點(diǎn)M到定直線l₁：x=-1，的距離等于它到定點(diǎn)F₁（1，0）的距離，
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是C為l₁準(zhǔn)線，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的拋物線
∴點(diǎn)M的軌跡C₂的方程為y²=4x（5分）
（2）

x2 4 + y2 3 =1 y=x-1

消去x并整理得：7y²+6y-9=0
設(shè)A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）則y3+y4=-

6

7

，y3y4=-

9

7

（7分）S△ABF1=

1

2

|F1F2|•|y3-y4|=|y3-y4|=

(y3+y4)2-4y3y4

=

12 2

7

（9分）
（3）Q（0，0），設(shè)R(

y12

4

，y1)  ，S(

y22

4

，y2)，kRS=

y2-y1

y22 4 - y21 4

=

4

y1+y2

（10分）∵

QR

•

QS

=0∴

y 2 1 y 2 2

16

+y1y2=0∵y₁≠0，y₂≠0∴y₁y₂=-16x₁x₂=16（11分）∴直線RS：y-y1=

4

y1+y2

(x-x1)∴y=

4

y1+y2

x+y1-

4x1

y1+y2

∴y=

4

y1+y2

x+

y1(y1+y2)-4x1

y1+y2

=

4

y1+y2

x+

y 2 1 +y1y2-4• y 2 1 4

y1+y2

=

4

y1+y2

x+

y1y2

y1+y2

=

4

y1+y2

x+

-16

y1+y2

=

4

y1+y2

(x-4)（13分）
故直線RS恒過(guò)定點(diǎn)（4，0）（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．