Question

求下列函數(shù)的值域：f(x)=2cos2x+3sinx+3   x∈[

π

6

，

2π

3

]．

Answer 1

分析：把函數(shù)f（x）的解析式第一項利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系sin²x+cos²x=1變形為關(guān)于sinx的二次函數(shù)，由x的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出正弦函數(shù)sinx的值域，即為二次函數(shù)的定義域，最后利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到函數(shù)的最大值與最小值，進而得到函數(shù)的值域．

解答：解：f（x）=2cos²x+3sinx+3
=2（1-sin²x）+3sinx+3
=-2sin²x+3sinx+5
=-2（sinx-

3

4

）²+

49

8

，
∵x∈[

π

6

，

2π

3

]，∴sinx∈[

1

2

 ， 1]，
∴當(dāng)sinx=

3

4

時，f（x）最大，最大值為f（

3

4

）=

49

8

，
當(dāng)sinx=

1

2

或1時，f（x）最小，最小值為f（1）=6，
則函數(shù)f（x）的值域是[6 ， 

49

8

]．

點評：此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，其中利用三角函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化為關(guān)于sinx的二次函數(shù)是本題的突破點．