Question

已知直線y=x+a與圓x²+y²=4交于A、B兩點(diǎn)，且，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)a的值為    ．

Answer 1

【答案】分析：由•=0，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則得到OA⊥OB，又OA=OB，可得出三角形AOB為等腰直角三角形，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到圓心坐標(biāo)與半徑R，可得出AB=R，求出AB的長，圓心到直線y=x+a的距離為AB的一半，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到正實(shí)數(shù)a的值．
解答：解：∵•=0，
∴OA⊥OB，又OA=OB，
∴△AOB為等腰直角三角形，
又圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑R=2，
∴AB=R=2，
∴圓心到直線y=x+a的距離d=AB=，
又d==，
∴|a|=2，又a＞0，
則a=2．
故答案為：2
點(diǎn)評：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，以及點(diǎn)到直線的距離公式，其中根據(jù)題意得出△AOB為等腰直角三角形是解本題的關(guān)鍵．