Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長和側(cè)棱長均為1，∠BAD=∠BAA₁=∠DAA₁=60°，O₁為A₁C₁中點(diǎn)．
（I）求證：AO₁∥平面C₁BD．；
（II）求證：BD⊥A₁C；
（III）求四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁．

Answer 1

分析：（1）在平面內(nèi)找到一條直線與已知直線平行，利用線面平行的判定定理得到線面平行．
（2）利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征找到線線垂直，進(jìn)而得到線面垂直，再轉(zhuǎn)化為線線垂直．
（3）由題意可得：平面ACC₁A₁⊥平面ABCD．過A₁作A₁E⊥平面ABCD，再由平面ACC₁A與平面ABCD交于AC，則E在AC上過E作EF⊥AB于F，由AB⊥平面A₁EF，則A₁F⊥AB．進(jìn)而得到幾何體的高與底面上的高．

解答：證明：（I）連接AC、BD交于O點(diǎn)，連接C₁O．
∵C₁C∥A₁A，
∴四邊形ACC₁A₁為平行四邊形．
又O₁，O分別為A₁C₁，AC的中點(diǎn)，
∴C₁O∥AO₁．
∵C₁O?平面C₁BD，AO₁?平面C₁BD，
∴AO₁∥平面C₁BD．
（II）連接A₁B，A₁D，A₁O．
∵A₁A=AB=AD，又∠A₁AB=∠A₁AD，
∴A₁B=A₁D．
∵O為BD中點(diǎn)，
∴BD⊥A₁O．
又底面ABCD為菱形，
∴BD⊥AC，AC∩A₁O=O．
∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∵A₁C?平面ACC₁A，
∴BD⊥A₁C．
（III）∵BD⊥平面ACC₁A₁，BD?平面ABCD，
∴平面ACC₁A₁⊥平面ABCD．
過A₁作A₁E⊥平面ABCD，
∵平面ACC₁A與平面ABCD交于AC，則E在AC上
過E作EF⊥AB于F，由AB⊥平面A₁EF，則A₁F⊥AB．
∴A1F=

3

2

，AF=

1

2

． 
在Rt△EAF中，∠EAF=30°，
∴EF=

3

6

．
∴A1E=

A1F2-EF2

=

6

3

．
∴V四棱柱=SABCD•A1E=1•1•sin60°•

6

3

=

2

2

．

點(diǎn)評：熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征，并且掌握線面垂直與線面平行的判定定理，熟練利用線面垂直得到幾何體的高與底面的高．