Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為 S_n=（n∈N*），且a₁=2．數(shù)列{b_n}滿足b₁=0，b₂=2，=，n=2，3，…．
（Ⅰ）求數(shù)列 {a_n} 的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列 {b_n} 的通項公式；
（Ⅲ）證明：對于 n∈N^*，．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵S_n=，∴2S_n=（n+1）a_n①，∴2S_n+1=（n+2）a_n+1②，
∴①-②可得2a_n+1=（n+2）a_n+1-（n+1）a_n，
∴
當n≥2時，
∵a₁=2
∴數(shù)列 {a_n} 的通項公式為a_n=2n；
（Ⅱ）解：∵b₁=0，b₂=2，=，n≥2，
∴n≥3時，
b₁=0，b₂=2滿足上式，
∴數(shù)列 {b_n} 的通項公式為；
（Ⅲ）證明：
當k≥2時，
∴
∵b₁=0，
∴==2^n-1-1
∴對于n∈N^*，
分析：（Ⅰ）利用S_n=，可得2S_n=（n+1）a_n，再寫一式2S_n+1=（n+2）a_n+1，兩式相減可得，利用疊乘法，可求數(shù)列 {a_n} 的通項公式；
（Ⅱ）根據b₁=0，b₂=2，=，利用疊乘法，可求數(shù)列 {b_n} 的通項公式；
（Ⅲ）先證明，再利用等比數(shù)列的求和公式，即可得到結論．
點評：本題考查數(shù)列的通項，考查數(shù)列與不等式的綜合，考查疊乘法，考查等比數(shù)列的求和公式，綜合性強．