Question

12．如圖，圓M與圓N交于A、B兩點，以A為切點作兩圓的切線分別交圓M和圓N于C，D兩點，延長DB交圓M于點E，延長CB交圓N于點F．
（1）求證：△ABC～△DBA；
（2）求證：CF=DE．

Answer 1

分析 （1）運用圓的弦切角定理，可得∠BAC=∠BDA，∠ACB=∠DAB，即可得證；
（2）運用圓的切割線定理和三角形相似的性質(zhì)定理，化簡整理，即可得證．

解答 證明：（1）根據(jù)弦切角定理，知∠BAC=∠BDA，
∠ACB=∠DAB，
所以△ABC～△DBA；
（2）根據(jù)切割線定理，知DA²=DB•DE，
得$\frac{{C{A^2}}}{{D{A^2}}}=\frac{{C{A^2}}}{DB•DE}$，
由△ABC～△DBA，得$\frac{AC}{DA}=\frac{AB}{DB}，\frac{CB}{AB}=\frac{AB}{DB}$，
得AB²=CB•DB，
則$\frac{{A{B^2}}}{{D{B^2}}}=\frac{{A{C^2}}}{{D{A^2}}}=\frac{CB•DB}{{D{B^2}}}=\frac{{C{A^2}}}{DB•DE}$，
得CB•DE=CA²，
根據(jù)切割線定理，知CB•CF=CA²，
所以CF=DE．

點評 本題考查三角形相似的判定和性質(zhì)，考查圓的弦切角定理、切割線定理的運用，考查推理和化簡能力，屬于中檔題．