Question

【題目】已知橢圓： （）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形.

（1）求橢圓的方程；

（2）動(dòng)直線： （， ）交橢圓于、兩點(diǎn)，試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn).若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)滿足條件.

【解析】試題分析：

（1）由題設(shè)知a= ，所以 ，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1， ），代入可得b=1，a=，由此可知所求橢圓方程

（2）首先求出動(dòng)直線過(guò)（0，﹣）點(diǎn)．當(dāng)l與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：x2+（y+）2=；當(dāng)l與y軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：x2+y2=1．由．由此入手可求出點(diǎn)T的坐標(biāo)．

解：

（1）∵橢圓： （）的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，

∴，∴

又∵橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入可得.

∴，故所求橢圓方程為.

（2）首先求出動(dòng)直線過(guò)點(diǎn).

當(dāng)與軸平行時(shí)，以為直徑的圓的方程：

當(dāng)與軸平行時(shí)，以為直徑的圓的方程：

由解得

即兩圓相切于點(diǎn)，因此，所求的點(diǎn)如果存在，只能是，事實(shí)上，點(diǎn)就是所求的點(diǎn).

證明如下：

當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)

當(dāng)直線不垂直于軸，可設(shè)直線：

由消去得：

記點(diǎn)、，則

又因?yàn)?/span>，

所以

所以，即以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)

所以在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)滿足條件.