Question

已知拋物線x²=4y的焦點為F，準線為l，過l上一點P作拋物線的兩切線，切點分別為A、B，
（1）求證：PA⊥PB；
（2）求證：A、F、B三點共線；
（3）求

FA • FB

FP 2

的值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,平面向量數(shù)量積的運算

專題：向量與圓錐曲線

分析：（1）由拋物線方程求出拋物線的準線方程和焦點坐標，設(shè)出A，B的坐標，求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)相等列式得到a²-2an-4=0，b²-2bn-4=0．從而得到a，b是方程x²-2nx-4=0的兩根，則答案得證；
（2）求出直線AB的斜率，寫出直線方程的點斜式，從而得到直線AB過定點F；
（3）求出

FA

•

FB

，

FP

2，作比后得答案．

解答： （1）證明：準線l的方程為：y=-1，F(xiàn)（0，1），
設(shè)P（n，-1），A（a，

a2

4

），B（b，

b2

4

），
∵y=

1

4

x2，∴y′=

1

2

x．
∴kPA=

a

2

=

a2 4 +1

a-n

，即a²-2an-4=0．
kPB=

b

2

=

b2 4 +1

b-n

，即b²-2bn-4=0．
∴a，b是方程x²-2nx-4=0的兩根．
則ab=-4．即

a

2

•

b

2

=-1．
∴PA⊥PB；
（2）證明：由（1）知，a+b=2n，kAB=

b2 4 - a2 4

b-a

=

b+a

4

=2n，
∴直線AB方程為y=

b+a

4

(x-a)+

a2

4

．
即y=

b+a

4

x-

ba

4

．
∵a+b=2n，ab=4，
∴AB方程為y=

1

2

nx+1．
∴直線AB過點F，
即A、F、B三點共線；
（3）

FA

•

FB

=(a，

a2

4

-1)(b，

b2

4

-1)=ab+(

a2

4

-1)(

b2

4

-1)
=ab+

(a2-4)(b2-4)

16

=-n²-4．

PF

=(-n，2)，
∴

FP

2=n2+4．
則

FA • FB

FP 2

=-1．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了平面向量在解題中的應(yīng)用，綜合考查了學(xué)生的邏輯思維能力和解決問題的能力，是壓軸題．