Question

已知函數(shù)f（x）=（1+x）²-2aln（1+x）（a∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若a=1，x∈[0，1]，求函數(shù)y=f（x）圖象上任意一點處切線斜率k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）先求函數(shù)的定義域，然后求導函數(shù)，令導數(shù)等于0，判定導數(shù)符號從而求出函數(shù)的單調區(qū)間；
（Ⅱ）求切線斜率的取值范圍即先求h（x）=f′（x）=2（1+x）-

2

1+x

（x≠-1），的取值范圍，可利用導數(shù)研究h（x）的范圍，即可求出k的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為（-1，+∞）．
f′（x）=2（x+1）-

2a

x+1

=

2[(x+1)2-a]

x+1

，
當a≤0時，f′（x）≥0在（-1，+∞）上恒成立，于是f（x）在定義域內單調遞增．
當a＞0時，f′（x）=0得x₁=-1+

a

，x₂=-1-

a

＜-1（舍），
當x變化時，f′（x），f（x）變化情況如下

x	（-1，-1+ a ）	-1+ a	（-1+ a ，+∞）
f′（x）	-		+
f（x）	遞減	極小值	遞增

所以f（x）的單調遞增區(qū)間是 （-1+

a

，+∞），單調遞減區(qū)間是（-1，-1+

a

）．
綜上，當a≤0時，f（x）單調遞增區(qū)間是（-1，+∞），
當a＞0時，f（x）的單調遞增區(qū)間是 （-1+

a

，+∞），單調遞減區(qū)間是（-1，-1+

a

）．
（Ⅱ）當a=1時，f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）（，令h（x）=f′（x）=2（1+x）-

2

1+x

（x≠-1），則h′（x）=2+

2

(1+x)2

＞0，故h（x）為區(qū)間[0，1）上增函數(shù)，
所以h（x）=f′（x）∈[0，3]，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知k∈[0，3]．

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，以及導數(shù)的幾何意義，同時考查了計算能力，屬于中檔題．