Question

2．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為矩形，其中PA=AB=AD=2，若M，N分別為線段PB，PD的中點，Q為底面ABCD內(nèi)一動點（包括邊界），則$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，5]．

Answer 1

分析 建立空間坐標(biāo)系利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出答案．

解答 解：以A為坐標(biāo)原點，以PA所在的直線為z軸，AB所在的直線為x軸，AD所在的直線為y軸，
∵PA=AB=AD=2，
∴A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），
P（0，0，2），
∵M(jìn)，N分別為線段PB，PD的中點，
∴M（1，0，1），N（0，1，1），
設(shè)O（x，y，0），0≤x，y≤2，
∴$\overrightarrow{OM}$=（1-x，-y，1），$\overrightarrow{ON}$=（-x，1-y，1），
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-x（1-x）-y（1-y）+1=x²-x+y²-y+1=（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，
當(dāng)x=y=$\frac{1}{2}$時，有最小值為$\frac{1}{2}$，
當(dāng)x=y=2時，有最大值為5，
∴則$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，5]，
故答案為：[$\frac{1}{2}$，5]．

點評 本題考查了向量的空間坐標(biāo)系和向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題．