Question

10．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁B=B₁A=AB=BC，∠B₁BC=90°，D為AC的中點，AB⊥B₁D．
（1）求證：平面ABB₁A₁⊥平面ABC；
（2）在線段CC₁（不含端點）上，是否存在點E，使得二面角E-B₁D-B的余弦值為$-\frac{{\sqrt{7}}}{14}$？若存在，求出$\frac{CE}{{C{C_1}}}$的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）取AB中點為O，連接OD，OB₁．推導出OB₁⊥AB，AB⊥B₁D，從而AB⊥平面B₁OD，進而AB⊥OD．再求出BC⊥BB₁，OD⊥BB₁，從而OD⊥平面ABB₁A₁．由此能證明平面ABC⊥平面ABB₁A₁．
（2）以O為坐標原點，$\overrightarrow{OB}$的方向為x軸的方向，|$\overrightarrow{OB}$|為單位長度1，建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz．利用向量法求出在線段CC₁（不含端點）上，存在點E，使得二面角E-B₁D-B的余弦值為$-\frac{{\sqrt{7}}}{14}$，且$\frac{CE}{{C{C_1}}}$=$\frac{1}{3}$．

解答 證明：（1）取AB中點為O，連接OD，OB₁．
因為B₁B=B₁A，所以OB₁⊥AB．
又AB⊥B₁D，OB₁∩B₁D=B₁，所以AB⊥平面B₁OD，
因為OD?平面B₁OD，所以AB⊥OD．
由已知，BC⊥BB₁，又OD∥BC，
所以OD⊥BB₁，因為AB∩BB₁=B，
所以OD⊥平面ABB₁A₁．
又OD?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABB₁A₁． 
解：（2）由（1）知，OB，OD，OB₁兩兩垂直．
以O為坐標原點，$\overrightarrow{OB}$的方向為x軸的方向，|$\overrightarrow{OB}$|為單位長度1，建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz．
由題設知B₁（0，0，$\sqrt{3}$），B（1，0，0），D（0，1，0），A（-1，0，0），C（1，2，0），C₁（0，2，$\sqrt{3}$）．
∴$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（0，1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{{B}_{1}B}$=（1，0，-$\sqrt{3}$），
設$\overrightarrow{CE}$=λ$\overrightarrow{C{C}_{1}}$，（0＜λ＜1），則$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=$\overrightarrow{{B}_{1}C}+\overrightarrow{CE}$=（1-λ，2，$\sqrt{3}（λ-1）$），
設平面BB₁D的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}D}=y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}E}=x-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，\sqrt{3}，1$），
設平面B₁DE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}D}=y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}E}=（1-λ）x+2y+\sqrt{3}（λ-1）z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\frac{\sqrt{3}（λ+1）}{λ-1}$，$\sqrt{3}$，1），
∵二面角E-B₁D-B的余弦值為$-\frac{{\sqrt{7}}}{14}$，
∴-|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞|=-$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=-$\frac{|\frac{3λ+3}{λ-1}+3+1|}{\sqrt{7}•\sqrt{3（\frac{λ+1}{λ-1}）^{2}+4}}$=-$\frac{\sqrt{7}}{14}$，
解得λ=$\frac{1}{3}$，
∴在線段CC₁（不含端點）上，存在點E，使得二面角E-B₁D-B的余弦值為$-\frac{{\sqrt{7}}}{14}$，且$\frac{CE}{{C{C_1}}}$=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查滿足條件的點的位置的確定及求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．