Question

2．在△ABC中，∠ABC=$\frac{π}{3}$，邊BC在平面α內，頂點A在平面α外，直線AB與平面α所成角為θ．若平面ABC與平面α所成的二面角為$\frac{π}{3}$，則sinθ=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

Answer 1

分析 過A作AO⊥α，垂足是O，過O作OD⊥BC，交BC于D，連結AD，則AD⊥BC，∠ADO=$\frac{π}{3}$，∠ABO=θ，由此能求出sinθ．

解答 解：過A作AO⊥α，垂足是O，過O作OD⊥BC，交BC于D，連結AD，
則AD⊥BC，∴∠ADO平面ABC與平面α所成的二面角為，即∠ADO=$\frac{π}{3}$，
∠ABO是直線AB與平面α所成角，即∠ABO=θ，
設AO=$\sqrt{3}$，∵△ABC中，∠ABC=$\frac{π}{3}$，
∴DO=1，OB=$\frac{1}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，AB=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{39}}{3}$，
∴sinθ=$\frac{AO}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{39}}{3}}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

點評 本題考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想、考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想，是中檔題．